ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 178 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каком значении \(b\) корни уравнения
\(
x^2 + bx — 7 = 0
\)
являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано уравнение:
\( x^2 + bx — 7 = 0 \);
1) Корни уравнения:
\( x_1 = -x_2, \, x_1 + x_2 = 0; \, x_1 + x_2 = -b, \, b = 0 \);
2) Значения корней: \( x^2 — 7 = 0, \, x = \pm\sqrt{7} \);
Ответ: \( b = 0; \, x = \pm\sqrt{7} \).

Рассмотрим уравнение

\(
x^2 + bx — 7 = 0
\)

Пусть корни этого уравнения — противоположные числа, то есть \(x_1 = r\), \(x_2 = -r\).

По теореме Виета для квадратного уравнения \(x^2 + bx + c = 0\):

1) сумма корней:

\(
x_1 + x_2 = -b
\)

2) произведение корней:

\(
x_1 x_2 = -7
\)

Подставим наши значения \(x_1 = r\), \(x_2 = -r\):

Сумма корней:
\(
r + (-r) = 0
\)
\(
0 = -b
\)
\(
b = 0
\)

Произведение корней:
\(
r \cdot (-r) = -r^2
\)
\(
-r^2 = -7
\)
\(
r^2 = 7
\)
\(
r = \sqrt{7} \quad \text{или} \quad r = -\sqrt{7}
\)

Значит, корни уравнения при \(b = 0\):

\(
x_1 = \sqrt{7}, \quad x_2 = -\sqrt{7}
\)

Ответ: при \(b = 0\) корни уравнения — \(\sqrt{7}\) и \(-\sqrt{7}\).