ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 180 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Корни \(x_1\) и \(x_2\) уравнения
\(
x^2 — 5x + m = 0
\)
удовлетворяют условию
\(
2x_1 — 3x_2 = 20
\).
Найдите корни уравнения и значение \(m\).

\(x^2 — 5x + m = 0;\)

\(2x_1 — 3x_2 = 20;\)

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = 5,\) \(x_1 = 10 + x_2;\)

\(10 + 3x_2 + 2 = 5,\) \(5 + 2 = 0;\)

\(1 + 2x_2 = 0,\) \(5x_2 = -1,\) \(x_2 = -2;\)

\(x_1 = 10 + (-3) = 7;\)

\(m = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 7 = -14;\)

Ответ: \(m = -14;\) \(x_1 = 7;\) \(x_2 = -2.\)

Для решения задачи начнем с уравнения \(x^2 — 5x + m = 0\). По теореме Виета, сумма корней \(x_1 + x_2 = 5\) и произведение корней \(x_1 x_2 = m\).

Также у нас есть условие \(2x_1 — 3x_2 = 20\).

Теперь выразим \(x_2\) через \(x_1\) из первого уравнения:

\(
x_2 = 5 — x_1.
\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(
2x_1 — 3(5 — x_1) = 20.
\)

Раскроем скобки:

\(
2x_1 — 15 + 3x_1 = 20.
\)

Соберем все \(x_1\) в одну сторону:

\(
5x_1 — 15 = 20.
\)

Добавим 15 к обеим сторонам:

\(
5x_1 = 35.
\)

Теперь разделим на 5:

\(
x_1 = 7.
\)

Теперь найдем \(x_2\):

\(
x_2 = 5 — x_1 = 5 — 7 = -2.
\)

Теперь, зная корни, найдем значение \(m\):

\(
m = x_1 x_2 = 7 \cdot (-2) = -14.
\)

Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -2\), а значение \(m = -14\).