ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 182 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корни которого на \(2\) больше соответствующих корней уравнения
\(
x^2 + 7x — 4 = 0
\).

Дано уравнение:
\(
x^2 + 7x — 4 = 0
\)

Сумма корней:
\(
x_1 + x_2 = -7
\)
Произведение корней:
\(
x_1 \cdot x_2 = -4
\)

Для нового уравнения, где корни увеличены на 2:
Сумма корней:
\(
y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4 = -7 + 4 = -3
\)
Произведение корней:
\(
y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2) \cdot (x_2 + 2) = x_1 \cdot x_2 + 2 \cdot (x_1 + x_2) + 4 =
\)
\(
= -4 + 2 \cdot (-7) + 4 = -14
\)

Искомое уравнение:
\(
y^2 + 3y — 14 = 0
\)

Дано уравнение:
\(x^2 + 7x — 4 = 0\)

1) Корни этого уравнения:
Сумма корней:
\(x_1 + x_2 = -7\)

Произведение корней:
\(x_1 \cdot x_2 = -4\)

2) Для искомого уравнения:
Новые корни \(y_1\) и \(y_2\) связаны с корнями \(x_1\) и \(x_2\) следующим образом:
\(y_1 = x_1 + 2\)
\(y_2 = x_2 + 2\)

Сумма новых корней:
\(y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2)\)
\(y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 4\)
Подставляем значение суммы корней \(x_1 + x_2 = -7\):
\(y_1 + y_2 = -7 + 4 = -3\)

Произведение новых корней:
\(y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2) \cdot (x_2 + 2)\)
Раскроем скобки:
\(y_1 \cdot y_2 = x_1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 4\)
Подставляем значения \(x_1 \cdot x_2 = -4\) и \(x_1 + x_2 = -7\):
\(y_1 \cdot y_2 = -4 + 2 \cdot (-7) + 4\)
Вычисляем:
\(y_1 \cdot y_2 = -4 — 14 + 4 = -14\)

Искомое уравнение имеет вид:
\(y^2 — (y_1 + y_2)y + y_1 \cdot y_2 = 0\)

Подставляем найденные значения \(y_1 + y_2 = -3\), \(y_1 \cdot y_2 = -14\):
\(y^2 — (-3)y — 14 = 0\)

Упрощаем:
\(y^2 + 3y — 14 = 0\)

Ответ: \(y^2 + 3y — 14 = 0\).