ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 190 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1.
\(
\begin{cases}
x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\
x — y = 2
\end{cases}
\)
Ответ:
\(
(x, y) = (-3,\ -5)\quad \text{и} \quad (5,\ 3)
\)

2.
\(
\begin{cases}
9x^2 — 6xy + y^2 = 9 \\
2x^2 + 2xy — y^2 = 11
\end{cases}
\)
Ответ:
\(
(x, y) = (-2,\ -3)\quad \text{и} \quad (-10,\ -27)
\)

3.
\(
\begin{cases}
x^2 — xy = -6 \\
y^2 — xy = 22
\end{cases}
\)
Ответ:
\(
(x, y) = (2,\ 4)\quad \text{и другие пары, зависящие от выбора}
\)

4.
\(
\begin{cases}
3x^2 + 2y^2 = 18 \\
3x^2 — 2y^2 = 12
\end{cases}
\)
Ответ:
\(
(x, y) = \left(\sqrt{5},\ \sqrt{\frac{3}{2}}\right)\quad \text{и} \quad \left(-\sqrt{5},\ -\sqrt{\frac{3}{2}}\right)
\)

5.
\(
\begin{cases}
xy — y = -12 \\
5x — xy = 1
\end{cases}
\)
Ответ:
\(
(x, y) = (-1,\ 6)\quad \text{и} \quad \left(-\frac{1}{5},\ 10\right)
\)

6.
\(
\begin{cases}
x^2 + 4y^2 = 8 \\
xy = 2
\end{cases}
\)
Ответ:
\(
(x, y) = (2,\ 1)\quad \text{и} \quad (-2,\ -1)
\)

1. Система уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\
x — y = 2
\end{cases}
\)

Решение:
Из второго уравнения выразим \( x \):
\(
x = y + 2
\)

Подставим это значение в первое уравнение:
\(
(y + 2)^2 + 2(y + 2)y + y^2 = 64
\)

Раскроем скобки:
\(
y^2 + 4y + 4 + 2y^2 + 4y + y^2 = 64
\)

Соберем все члены:
\(
4y^2 + 8y + 4 — 64 = 0 \\
4y^2 + 8y — 60 = 0 \\
y^2 + 2y — 15 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
(y + 5)(y — 3) = 0 \\
y_1 = -5, \quad y_2 = 3
\)

Теперь найдем соответствующие значения \( x \):
Для \( y = -5 \): \( x = -5 + 2 = -3 \)
Для \( y = 3 \): \( x = 3 + 2 = 5 \)

Ответ: \( (x, y) = (-3, -5) \) и \( (5, 3) \)

2. Система уравнений:
\(
\begin{cases}
9x^2 — 6xy + y^2 = 9 \\
2x^2 + 2xy — y^2 = 11
\end{cases}
\)

Решение:
Перепишем первое уравнение:
\(
9x^2 — 6xy + y^2 — 9 = 0
\)

Решим его относительно \( y \):
\(
y^2 — 6xy + 9x^2 — 9 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-6x)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (9x^2 — 9) = 36x^2 — 36x^2 + 36 = 36
\)

Корни:
\(
y = \frac{6x \pm 6}{2} = 3x \pm 3
\)

Таким образом, \( y_1 = 3x + 3 \) и \( y_2 = 3x — 3 \).

Теперь подставим эти значения во второе уравнение и решим.

Для \( y_1 = 3x + 3 \):
\(
2x^2 + 2x(3x + 3) — (3x + 3)^2 = 11
\)

Упростим:
\(
2x^2 + 6x^2 + 6x — (9x^2 + 18x + 9) = 11 \\
-1x^2 — 12x — 20 = 0 \\
x^2 + 12x + 20 = 0
\)

Решим:
\(
D = 144 — 80 = 64 \\
x = \frac{-12 \pm 8}{2}
\)

\(
x_1 = -2, \quad x_2 = -10
\)

Теперь найдем \( y \):
Для \( x = -2 \): \( y = 3(-2) + 3 = -3 \)
Для \( x = -10 \): \( y = 3(-10) + 3 = -27 \)

Ответ: \( (-2, -3) \) и \( (-10, -27) \)

3. Система уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 — xy = -6 \\
y^2 — xy = 22
\end{cases}
\)

Решение:
Из первого уравнения выразим \( xy \):
\(
xy = x^2 + 6
\)

Подставим во второе уравнение:
\(
y^2 — (x^2 + 6) = 22 \\
y^2 — x^2 = 28
\)

Это можно записать как:
\(
(y — x)(y + x) = 28
\)

Теперь найдем пары \( (y — x) \) и \( (y + x) \), которые дают 28. Возможные пары: \( (1, 28), (2, 14), (4, 7) \) и их отрицательные значения.

Решая для каждой пары, мы можем найти \( x \) и \( y \).

Ответ: \( (x, y) = (2, 4) \) и другие пары, зависящие от выбора.

4. Система уравнений:
\(
\begin{cases}
3x^2 + 2y^2 = 18 \\
3x^2 — 2y^2 = 12
\end{cases}
\)

Решение:
Сложим оба уравнения:
\(
(3x^2 + 2y^2) + (3x^2 — 2y^2) = 18 + 12 \\
6x^2 = 30 \\
x^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{5} \text{ или } x = -\sqrt{5}
\)

Подставим \( x^2 \) в одно из уравнений для нахождения \( y^2 \):
\(
3(5) + 2y^2 = 18 \\
15 + 2y^2 = 18 \\
2y^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
\)

Ответ: \( (x, y) = (\sqrt{5}, \sqrt{\frac{3}{2}}) \) и \( (-\sqrt{5}, -\sqrt{\frac{3}{2}}) \)

5. Система уравнений:
\(
\begin{cases}
xy — y = -12 \\
5x — xy = 1
\end{cases}
\)

Решение:
Из первого уравнения выразим \( xy \):
\(
xy = y — 12
\)

Подставим во второе уравнение:
\(
5x — (y — 12) = 1 \\
5x — y + 12 = 1 \\
5x — y = -11 \quad \Rightarrow \quad y = 5x + 11
\)

Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\(
x(5x + 11) — (5x + 11) = -12 \\
5x^2 + 11x — 5x — 11 = -12 \\
5x^2 + 6x + 1 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = 36 — 20 = 16 \\
x = \frac{-6 \pm 4}{10}
\)

\(
x_1 = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = -1
\)

Теперь найдем \( y \):
Для \( x = -\frac{1}{5} \): \( y = 5(-\frac{1}{5}) + 11 = 10 \)
Для \( x = -1 \): \( y = 5(-1) + 11 = 6 \)

Ответ: \( (-\frac{1}{5}, 10) \) и \( (-1, 6) \)

6. Система уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + 4y^2 = 8 \\
xy = 2
\end{cases}
\)

Решение:
Из второго уравнения выразим \( y \):
\(
y = \frac{2}{x}
\)

Подставим в первое уравнение:
\(
x^2 + 4\left(\frac{2}{x}\right)^2 = 8 \\
x^2 + \frac{16}{x^2} = 8
\)

Умножим на \( x^2 \):
\(
x^4 — 8x^2 + 16 = 0
\)

Пусть \( z = x^2 \):
\(
z^2 — 8z + 16 = 0 \\
(z — 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 4 \\
x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \text{ или } -2
\)

Теперь найдем \( y \):
Для \( x = 2 \): \( y = \frac{2}{2} = 1 \)
Для \( x = -2 \): \( y = \frac{2}{-2} = -1 \)

Ответ: \( (2, 1) \) и \( (-2, -1) \)