ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 191 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Система 1
1) \( x + y + xy = 4 \)
2) \( xy(x + y) = -21 \)

Пусть \( s = x + y \) и \( p = xy \). Тогда:
\[
s + p = 4
\]
\[
p \cdot s = -21
\]

Решаем систему:
\[
p = 4 — s
\]
\[
(4 — s) \cdot s = -21
\]
\[
s^2 — 4s — 21 = 0
\]

Корни:
\[
s_1 = 7, \quad s_2 = -3
\]
\[
p_1 = -3, \quad p_2 = 7
\]

Для каждого случая решаем квадратное уравнение для \( x \) и \( y \).

Система 2
1) \( \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \)
2) \( 2x — 3y = 10 \)

Пусть \( u = \frac{x}{y} \):
\[
u — \frac{1}{u} = \frac{15}{4}
\]
\[
4u^2 — 15u — 4 = 0
\]

Корни:
\[
u_1 = -0.25, \quad u_2 = 4
\]

Для каждого значения \( u \) находим \( x \) и \( y \).

Система 3
1) \( \frac{3x + y}{x — y} — \frac{3(x — y)}{3x + y} = -2 \)
2) \( x^2 + xy — y^2 = -20 \)

Пусть \( u = \frac{3x + y}{x — y} \):
\[
u — \frac{1}{u} = -2
\]
\[
u^2 + 2u — 3 = 0
\]

Корни:
\[
u_1 = -3, \quad u_2 = -1
\]

Для каждого значения \( u \) находим \( x \) и \( y \).

Текст из изображения с формулами в формате LaTeX:

—

191.
@ reshak.ru
Решить систему уравнений:
1) \( \{x + y + xy = 4, \, xy(x + y) = -21\} \)

Первое уравнение: \( x + y = 4 — xy \);
Второе уравнение: \( xy(4 — xy) = -21 \):
\[
4xy — (xy)^2 = -21;
(xy)^2 — 4(xy) — 21 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (4)^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,
\]
тогда:
\[
xy_1 = 4 — 10 = -3, \quad xy_2 = 4 + 10 = 7.
\]

Первое значение: \( y = -1 \), \( x(-2) + x(-1) = 4 \):
\[
x^2 — 7x — 3 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (7)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 + 12 = 61,
\]
тогда:
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2};
x_1 = \frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \quad x_2 = \frac{7 — \sqrt{61}}{2}.
\]

Второе значение: \( y = 2 \), \( x + 2 + x(2) = 4 \):
\[
x^2 + 3x + 7 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19.
\]

Ответ:
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}.
\]

\( 2) \quad \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \quad 2x — 3y = 10 \)

Пусть \( u = \frac{x}{y} \), тогда:
\[
u — \frac{1}{u} = \frac{15}{4}, \quad 4u^2 — 15u — 4 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (15)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289,
\]
тогда:
\[
u_1 = \frac{15 — 17}{8} = -0,25, \quad u_2 = \frac{15 + 17}{8} = 4.
\]

Первое значение:
\( u_1 = -0,25 \), \( \frac{x}{y} = -0,25 \), \( y = -4x \):
\[
2x — 3(-4x) = 10; \quad 2x + 12x = 10; \quad 14x = 10; \quad x = \frac{5}{7}.
\]

Второе значение:
\( u_2 = 4 \), \( \frac{x}{y} = 4 \), \( y = \frac{x}{4} \):
\[
2x — 3\left(\frac{x}{4}\right) = 10; \quad 8x — 3x = 40; \quad 5x = 40; \quad x = 8, \, y = 2.
\]

Ответ:
\( (x; y) = (\frac{5}{7}; -\frac{20}{7}), (8; 2) \).

\( \frac{3x + y}{x — y} — \frac{3(x — y)}{3x + y} = -2 \)
\( x^2 + xy — y^2 = -20 \)

Пусть \( u = \frac{3x + y}{x — y} \), тогда:
\[
u — \frac{1}{u} = -2, \quad u^2 + 2u — 3 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\]
тогда:
\[
u_1 = \frac{-2 — \sqrt{4}}{2} = -3, \quad u_2 = \frac{-2 + \sqrt{4}}{2} = -1.
\]

Первое значение:
\( u_1 = -3 \), \( \frac{3x + y}{x — y} = -3 \):
\[
3x + y = -3(x — y); \quad 2y = 6x; \quad y = 3x;
\]
Подставим в \( x^2 + xy — y^2 = -20 \):
\[
x^2 + 3x^2 — (3x)^2 = -20; \quad x^2 + 3x^2 — 9x^2 = -20; \quad 5x^2 = 20; \quad x^2 = 4.
\]
Тогда:
\( x = \pm 2, \, y = \pm 6. \)

Второе значение:
\( u_2 = -1 \), \( \frac{3x + y}{x — y} = -1 \):
\[
3x + y = x — y; \quad 2y = -2x; \quad y = -x;
\]
Подставим в \( x^2 + xy — y^2 = -20 \):
\[
x^2 — x^2 — (-x)^2 = -20; \quad x^2 = 20.
\]
Тогда:
\( x = \pm 2\sqrt{5}, \, y = \mp 2\sqrt{5}. \)

Ответ:
\( (-2; -6), (2; 6), (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}), (2\sqrt{5}; -2\sqrt{5}). \)