ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 191 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
\begin{cases}
x + y + xy = 4 \\
xy(x + y) = -21
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(x + y = 4 — xy\);

Второе уравнение:
\(xy(4 — xy) = -21;\)
\(4xy — (xy)^2 = -21;\)
\((xy)^2 — 4(xy) — 21 = 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,\) тогда:
\(xy_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3\) и \(xy_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7;\)

Первое значение:
\(y = \frac{-3}{x},\)
\(x — \frac{3}{x} + x \cdot \left(-\frac{3}{x}\right) = 4;\)
\(x^2 — 7x — 3 = 0;\)
\(D = 7^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 + 12 = 61,\) тогда:
\(x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2};\)
\(y = \frac{-3}{x} = \frac{-3 \cdot 2}{7 \pm \sqrt{61}} = \frac{-6}{7 \pm \sqrt{61}};\)
или приводят к виду:
\(\frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}, \frac{7 \mp \sqrt{61}}{2}\)

Второе значение:
\(y = \frac{7}{x},\)
\(x + \frac{7}{x} + x \cdot \frac{7}{x} = 4;\)
\(x^2 + 3x + 7 = 0;\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19;\)
(корней нет)

Ответ:
\(
\left(
\frac{7 + \sqrt{61}}{2}; \frac{7 — \sqrt{61}}{2}
\right), \quad
\left(
\frac{7 — \sqrt{61}}{2}; \frac{7 + \sqrt{61}}{2}
\right)
\)

2)
\(
\begin{cases}
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\
2x — 3y = 10
\end{cases}
\)

Пусть \( u = \frac{x}{y} \), тогда:

\(
u — \frac{1}{u} = \frac{15}{4}, \quad 4u^2 — 15u — 4 = 0;
\)

\(
D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289, \quad тогда:
\)

\(
u_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 4} = -0,25 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = 4;
\)

Первое значение:

\(
\left(\frac{x}{y}\right) = -\frac{1}{4}, \quad y = -4x;
\)

\(
2x — 3 \cdot (-4x) = 10;
\)

\(
2x + 12x = 10;
\)

\(
14x = 10, \quad x = \frac{5}{7};
\)

\(
y = -4 \cdot \frac{5}{7} = -\frac{20}{7};
\)

Второе значение:

\(
\left(\frac{x}{y}\right) = 4, \quad y = \frac{x}{4};
\)

\(
2x — 3 \cdot \frac{x}{4} = 10;
\)

\(
8x — 3x = 40;
\)

\(
5x = 40, \quad x = 8, \quad y = 2;
\)

Ответ: \(\left(\frac{5}{7}; -\frac{20}{7}\right); (8; 2)\).

3)

\(
\begin{cases}
\frac{3x + y}{x — y} — \frac{3(x — y)}{3x + y} = -2; \\
x^2 + xy — y^2 = -20
\end{cases}
\)

Пусть \( u = \frac{3x + y}{x — y} \), тогда:

\(
u — \frac{3}{u} = -2, \quad u^2 + 2u — 3 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad тогда:
\)

\(
u_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)

Первое значение:

\(
3x + y = -3(x — y);
\)

\(
2y = 6x, \quad y = 3x;
\)

\(
x^2 + 3x^2 — (3x)^2 = -20;
\)

\(
x^2 + 3x^2 — 9x^2 = -20;
\)

\(
5x^2 = 20, \quad x^2 = 4;
\)

\(
x = \pm 2, \quad y = \pm 6;
\)

Второе значение:

\(
3x + y = x — y;
\)

\(
2y = -2x, \quad y = -x;
\)

\(
x^2 — x^2 — (-x)^2 = -20;
\)

\(
-x^2 = -20, \quad x^2 = 20;
\)

\(
x = \pm 2\sqrt{5}, \quad y = \mp 2\sqrt{5};
\)

Ответ: \((-2; -6); (2; 6); (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}); (2\sqrt{5}; -2\sqrt{5})\).

1) Система уравнений

\(
\begin{cases}
x + y + xy = 4 \\
xy(x + y) = -21
\end{cases}
\)

Шаг 1. Из первого уравнения выразим сумму \(x + y\):

\(
x + y = 4 — xy
\)

Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\(
xy(x + y) = xy(4 — xy) = -21
\)

Раскроем скобки:

\(
4xy — (xy)^2 = -21
\)

Перенесём все в левую часть:

\(
(xy)^2 — 4xy — 21 = 0
\)

Шаг 3. Обозначим \(t = xy\). Тогда уравнение для \(t\):

\(
t^2 — 4t — 21 = 0
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100
\)

Найдём корни уравнения:

\(
t_1 = \frac{4 — \sqrt{100}}{2} = \frac{4 — 10}{2} = -3
\)

\(
t_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7
\)

Рассмотрим каждое значение \(xy\) отдельно.

Случай 1: \(xy = -3\)

Подставим в выражение для суммы:

\(
x + y = 4 — (-3) = 4 + 3 = 7
\)

Теперь система:

\(
\begin{cases}
x + y = 7 \\
xy = -3
\end{cases}
\)

Это классическая система для суммы и произведения корней квадратного уравнения. Чтобы найти \(x\) и \(y\), рассмотрим уравнение:

\(
t^2 — (x + y) t + xy = 0 — t^2 — 7t — 3 = 0
\)

где \(t\) — переменная, а \(x\) и \(y\) — корни этого уравнения.

Найдём дискриминант:

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 49 + 12 = 61
\)

Корни:

\(
t_1 = \frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \quad t_2 = \frac{7 — \sqrt{61}}{2}
\)

Таким образом,

\(
x = \frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \quad y = \frac{7 — \sqrt{61}}{2}
\)

или наоборот

\(
x = \frac{7 — \sqrt{61}}{2}, \quad y = \frac{7 + \sqrt{61}}{2}
\)

Случай 2: \(xy = 7\)

Подставим в выражение для суммы:

\(
x + y = 4 — 7 = -3
\)

Система:

\(
\begin{cases}
x + y = -3 \\
xy = 7
\end{cases}
\)

Аналогично составим квадратное уравнение:

\(
t^2 — (x+y) t + xy = 0 — t^2 + 3t + 7 = 0
\)

Дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19
\)

Корней в действительных числах нет, значит решений для \(xy = 7\) нет.

Итог для первой системы:

\(
\left(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}; \frac{7 — \sqrt{61}}{2}\right), \quad \left(\frac{7 — \sqrt{61}}{2}; \frac{7 + \sqrt{61}}{2}\right)
\)

2) Система уравнений

\(
\begin{cases}
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\
2x — 3y = 10
\end{cases}
\)

Шаг 1. Обозначим

\(
u = \frac{x}{y}
\)

Тогда первое уравнение перепишется так:

\(
u — \frac{1}{u} = \frac{15}{4}
\)

Умножим обе части на \(u\):

\(
u^2 — 1 = \frac{15}{4} u
\)

Перенесём все в одну сторону:

\(
u^2 — \frac{15}{4} u — 1 = 0
\)

Умножим на 4 для удобства:

\(
4u^2 — 15u — 4 = 0
\)

Шаг 2. Найдём дискриминант:

\(
D = (-15)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289
\)

Корни:

\(
u_1 = \frac{15 — \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 — 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}
\)

\(
u_2 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4
\)

Рассмотрим каждое значение \(u\) отдельно.

Случай 1: \(u = -\frac{1}{4}\)

Тогда

\(
\frac{x}{y} = -\frac{1}{4} — y = -4x
\)

Подставим во второе уравнение:

\(
2x — 3y = 10
\)

\(
2x — 3(-4x) = 10
\)

\(
2x + 12x = 10
\)

\(
14x = 10 — x = \frac{5}{7}
\)

Тогда

\(
y = -4 \cdot \frac{5}{7} = -\frac{20}{7}
\)

Случай 2: \(u = 4\)

Тогда

\(
\frac{x}{y} = 4 — y = \frac{x}{4}
\)

Подставим во второе уравнение:

\(
2x — 3y = 10
\)

\(
2x — 3 \cdot \frac{x}{4} = 10
\)

\(
2x — \frac{3x}{4} = 10
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
\frac{8x}{4} — \frac{3x}{4} = 10
\)

\(
\frac{5x}{4} = 10
\)

\(
5x = 40 — x = 8
\)

Тогда

\(
y = \frac{8}{4} = 2
\)

Итог для второй системы:

\(
\left(\frac{5}{7}; -\frac{20}{7}\right), \quad (8; 2)
\)

3) Система уравнений

\(
\begin{cases}
\frac{3x + y}{x — y} — \frac{3(x — y)}{3x + y} = -2 \\
x^2 + xy — y^2 = -20
\end{cases}
\)

Шаг 1. Обозначим

\(
u = \frac{3x + y}{x — y}
\)

Тогда первое уравнение перепишется:

\(
u — \frac{3}{u} = -2
\)

Умножим обе части на \(u\):

\(
u^2 — 3 = -2u
\)

Перенесём все в одну сторону:

\(
u^2 + 2u — 3 = 0
\)

Шаг 2. Найдём дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Корни:

\(
u_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3
\)

\(
u_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1
\)

Рассмотрим каждое значение \(u\) отдельно.

Случай 1: \(u = -3\)

По определению:

\(
\frac{3x + y}{x — y} = -3
\)

Домножим обе части на \(x — y\):

\(
3x + y = -3(x — y)
\)

Раскроем правую часть:

\(
3x + y = -3x + 3y
\)

Перенесём все в одну сторону:

\(
3x + y + 3x — 3y = 0 — 6x — 2y = 0
\)

Выразим \(y\):

\(
6x = 2y — y = 3x
\)

Подставим в второе уравнение системы:

\(
x^2 + xy — y^2 = -20
\)

Подставим \(y = 3x\):

\(
x^2 + x \cdot 3x — (3x)^2 = -20
\)

\(
x^2 + 3x^2 — 9x^2 = -20
\)

\(
(1 + 3 — 9) x^2 = -20
\)

\(
-5 x^2 = -20
\)

\(
5 x^2 = 20 — x^2 = 4
\)

\(
x = \pm 2
\)

Соответственно,

\(
y = 3x = \pm 6
\)

Случай 2: \(u = 1\)

По определению:

\(
\frac{3x + y}{x — y} = 1
\)

Домножим обе части на \(x — y\):

\(
3x + y = x — y
\)

Перенесём все в одну сторону:

\(
3x + y — x + y = 0 — 2x + 2y = 0
\)

Выразим \(y\):

\(
2x + 2y = 0 — y = -x
\)

Подставим во второе уравнение:

\(
x^2 + xy — y^2 = -20
\)

Подставим \(y = -x\):

\(
x^2 + x(-x) — (-x)^2 = -20
\)

\(
x^2 — x^2 — x^2 = -20
\)

\(
-x^2 = -20
\)

\(
x^2 = 20
\)

\(
x = \pm 2\sqrt{5}
\)

Тогда

\(
y = -x = \mp 2\sqrt{5}
\)

Итог для третьей системы:

\(
(-2; -6), \quad (2; 6), \quad (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}), \quad (2\sqrt{5}; -2\sqrt{5})
\)