ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 195 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Рассмотрим системы уравнений и определим количество решений каждой системы в зависимости от параметра \( a \):

1)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a, \\
|x| = 2,
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9, \\
y = a + |x|,
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a^2, \\
xy = 8.
\end{cases}
\)

Задача: для каждого значения параметра \( a \) определить количество решений соответствующей системы уравнений.

Количество решений:
1) \(\begin{cases}
x^2 + y^2 = a, \\
(x) = 2
\end{cases}\)

Первое уравнение: \((x) = 2\), \(4 + y^2 = a\);
\(y^2 = a — 4\), \(y^2 \geq 0\);
Имеет решения: \(a — 4 \geq 0\), \(a \geq 4\);

Графики функций:

Ответ:
— \(4\) решения, если \(a > 4\);
— \(2\) решения, если \(a = 4\);
— \(0\) решений, если \(a < 4\).

2) \(x^2 + y^2 = 9\), \(y = a + |x|\)

Первое уравнение:
\(x^2 + (a + |x|)^2 = 9;\)
\(x^2 + a^2 + 2a|x| + x^2 = 9;\)
\(2x^2 + 2a|x| + (a^2 — 9) = 0;\)
\(D = (2 \cdot a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9);\)
\(D = 4a^2 — 8a^2 + 72 = 72 — 4a^2;\)

Имеет решения:
\(72 — 4a^2 \geq 0,\)
\(4(a^2 — 18) \leq 0;\)
\(a^2 — 18 \leq 0,\) \(a^2 \geq 18,\) \(|a| < 3\sqrt{2};\)

Графики функций:

Ответ:
— \(4\) решения, если \(-3\sqrt{2} < a < -3;\)
— \(3\) решения, если \(a = -3;\)
— \(2\) решения, если \(a = -3\sqrt{2}, -3 < a < 3;\)
— \(1\) решение, если \(a = 3;\)
— \(0\) решений, если \(a < -3\sqrt{2}, a > 3.\)

3) \(\begin{cases}
x^2 + y^2 = a^2, \\
x \cdot y = 8
\end{cases}\)

Второе уравнение:
\(x \cdot y = 8,\) \(y = \frac{8}{x}\)

Первое уравнение:
\(x^2 + \left(-\frac{8}{x}\right)^2 = a^2,\)
\(x^2 + \frac{64}{x^2} = a^2 \, | \cdot x^2;\)
\(x^4 + 64 = a^2x^2,\)
\(x^4 — a^2x^2 + 64 = 0;\)

\(D = (a^2)^2 — 4 \cdot 64 = a^4 — 256;\)

Имеет решения:
\(a^4 — 256 \geq 0,\)
\(a^2 — 16 \geq 0;\)
\(a^2 \geq 16,\) \(|a| \geq 4;\)

Графики функций:

Ответ:
— \(4\) решения, если \(a < -4,\) \(a > 4;\)
— \(2\) решения, если \(a = -4,\) \(a = 4;\)
— \(0\) решений, если \(-4 < a < 4.\)

1) Система:
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} = a, \\
|x| = 2
\end{cases}
\)

Из второго уравнения имеем:
\(
|x| = 2 — x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2.
\)

Подставим в первое уравнение:
\(
x^{2} + y^{2} = a — 4 + y^{2} = a,
\)
откуда
\(
y^{2} = a — 4.
\)

Поскольку \(y^{2} \geq 0\), то
\(
a — 4 \geq 0 — a \geq 4.
\)

Рассмотрим случаи:

— Если \(a > 4\), то \(y^{2} = a — 4 > 0\), значит \(y = \pm \sqrt{a — 4}\). Для каждого из двух значений \(x = \pm 2\) есть по два значения \(y\), всего 4 решения.

— Если \(a = 4\), то \(y^{2} = 0\), значит \(y = 0\). Для каждого из двух значений \(x = \pm 2\) по одному решению, всего 2 решения.

— Если \(a < 4\), то решений нет, так как \(y^{2} < 0\) невозможно.

Ответ:
\(
\begin{cases}
4 \text{ решения, если } a > 4, \\
2 \text{ решения, если } a = 4, \\
0 \text{ решений, если } a < 4.
\end{cases}
\)

2) Система:
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} = 9, \\
y = a + |x|.
\end{cases}
\)

Подставим \(y = a + |x|\) в первое уравнение:
\(
x^{2} + (a + |x|)^{2} = 9.
\)

Раскроем скобки:
\(
x^{2} + a^{2} + 2a|x| + x^{2} = 9,
\)
то есть
\(
2x^{2} + 2a|x| + (a^{2} — 9) = 0.
\)

Обозначим \(t = |x| \geq 0\), тогда уравнение становится:
\(
2t^{2} + 2a t + (a^{2} — 9) = 0.
\)

Это квадратное уравнение относительно \(t\). Его дискриминант:
\(
D = (2a)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} — 9) = 4a^{2} — 8a^{2} + 72 = 72 — 4a^{2}.
\)

Для существования решений по \(t\) требуется \(D \geq 0\):
\(
72 — 4a^{2} \geq 0 — 4(a^{2} — 18) \leq 0 — a^{2} \leq 18 — |a| \leq 3\sqrt{2}.
\)

Решаем уравнение для \(t\):
\(
t = \frac{-2a \pm \sqrt{72 — 4a^{2}}}{4} = \frac{-a \pm \sqrt{18 — a^{2}}}{2}.
\)

Поскольку \(t = |x| \geq 0\), выбираем только неотрицательные корни.

Рассмотрим количество решений по \(t\):

— Если оба корня положительны и различны, то для каждого \(t\) есть два значения \(x = \pm t\), и соответственно по два значения \(y = a + t\) (так как \(y\) однозначно по \(x\)). Итого 4 решения.

— Если один корень равен нулю или корни совпадают, количество решений уменьшается.

Подробный разбор:

— При \(a = -3\sqrt{2}\) дискриминант \(D = 0\), корень \(t = \frac{-a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0\), значит 2 решения (по \(x = \pm t\)).

— При \(a = 3\sqrt{2}\) аналогично.

— При \(a = -3\) подставим в уравнение для \(t\):
\(
t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{18 — 9}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{3 \pm 3}{2}.
\)
Корни: \(t = 3\) и \(t = 0\). Корень \(t=0\) даёт одно решение \(x=0\), а \(t=3\) — две решения \(x = \pm 3\). Итого 3 решения.

— При \(a = 3\):
\(
t = \frac{-3 \pm \sqrt{18 — 9}}{2} = \frac{-3 \pm 3}{2}.
\)
Корни: \(t = 0\) и \(t = -3\) (отрицательный, не учитываем). Значит только \(t=0\) подходит, даёт 1 решение.

— При \(a \in (-3\sqrt{2}, -3)\) и \(a \in (3, 3\sqrt{2})\) корни положительные и различны, 4 решения.

— При \(a \in (-3, 3)\) оба корня положительные, 2 решения.

— При \(a < -3\sqrt{2}\) или \(a > 3\sqrt{2}\) решений нет.

Ответ:
\(
\begin{cases}
4 \text{ решения, если } -3\sqrt{2} < a < -3 \text{ или } 3 < a < 3\sqrt{2}, \\
3 \text{ решения, если } a = -3, \\
2 \text{ решения, если } a = -3\sqrt{2} \text{ или } -3 < a < 3, \\
1 \text{ решение, если } a = 3, \\
0 \text{ решений, если } a < -3\sqrt{2} \text{ или } a > 3\sqrt{2}.
\end{cases}
\)

3) Система:
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} = a^{2}, \\
x y = 8.
\end{cases}
\)

Из второго уравнения выразим \(y\):
\(
y = \frac{8}{x}, \quad x \neq 0.
\)

Подставим в первое уравнение:
\(
x^{2} + \left(\frac{8}{x}\right)^{2} = a^{2},
\)
то есть
\(
x^{2} + \frac{64}{x^{2}} = a^{2}.
\)

Умножим на \(x^{2}\):
\(
x^{4} + 64 = a^{2} x^{2}.
\)

Перепишем:
\(
x^{4} — a^{2} x^{2} + 64 = 0.
\)

Обозначим \(t = x^{2} \geq 0\), тогда уравнение:
\(
t^{2} — a^{2} t + 64 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (a^{2})^{2} — 4 \cdot 64 = a^{4} — 256.
\)

Для существования решений по \(t\) требуется \(D \geq 0\):
\(
a^{4} — 256 \geq 0 — a^{4} \geq 256 — (a^{2})^{2} \geq 256.
\)

Поскольку \(a^{2} \geq 0\), возьмём положительный корень:
\(
a^{2} \geq 16 — |a| \geq 4.
\)

Решаем квадратное уравнение для \(t\):
\(
t = \frac{a^{2} \pm \sqrt{a^{4} — 256}}{2}.
\)

Поскольку \(t = x^{2} \geq 0\), выбираем неотрицательные корни.

Рассмотрим случаи:

— Если \(a^{2} > 16\), то дискриминант положителен, два положительных корня \(t_1, t_2 > 0\), значит по два значения \(x = \pm \sqrt{t_1}\) и \(x = \pm \sqrt{t_2}\), всего 4 решения.

— Если \(a^{2} = 16\), дискриминант равен нулю, один корень \(t = \frac{16}{2} = 8 > 0\), дающий два значения \(x = \pm \sqrt{8}\), всего 2 решения.

— Если \(|a| < 4\), решений нет.

Ответ:
\(
\begin{cases}
4 \text{ решения, если } |a| > 4, \\
2 \text{ решения, если } |a| = 4, \\
0 \text{ решений, если } |a| < 4.
\end{cases}
\)