ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 223 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение не имеет корней:

1)
\(
x^2 — a x + 9 = 0;
\)

2)
\(
x^2 + (a + 2) x + 25 = 0.
\)

Не имеет корней:

1) \(x^2 — ax + 9 = 0\);
\(D = a^2 — 4 \cdot 9 < 0\);
\(D = a^2 — 36 < 0\);
\((a + 6)(a — 6) < 0\);
\(-6 < a < 6\);
Ответ: \((-6; 6)\).

2) \(x^2 + (a + 2)x + 25 = 0\);
\(D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 25 < 0\);
\(a^2 + 4a + 4 — 100 < 0\);
\(a^2 + 4a — 96 < 0\);
\((a + 12)(a — 8) < 0\);
\(-12 < a < 8\);
Ответ: \((-12; 8)\).

1) Уравнение:
\(
x^2 — a x + 9 = 0
\)

Дискриминант данного уравнения:
\(
D = a^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 — 36
\)

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля:
\(
D < 0 — a^2 — 36 < 0
\)

Решаем неравенство:
\(
a^2 < 36
\)

Это означает, что
\(
-6 < a < 6
\)

Ответ:
\(
(-6; 6)
\)

2) Уравнение:
\(
x^2 + (a + 2) x + 25 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a + 2)^2 — 100
\)

Раскроем скобки:
\(
D = a^2 + 4a + 4 — 100 = a^2 + 4a — 96
\)

Для отсутствия корней дискриминант должен быть меньше нуля:
\(
a^2 + 4a — 96 < 0
\)

Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего уравнения:
\(
a^2 + 4a — 96 = 0
\)

Дискриминант этого уравнения:
\(
D_a = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400
\)

Корни:
\(
a = \frac{-4 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 \pm 20}{2}
\)

Получаем два корня:
\(
a_1 = \frac{-4 — 20}{2} = -12, \quad a_2 = \frac{-4 + 20}{2} = 8
\)

Парабола направлена вверх, значит неравенство
\(
a^2 + 4a — 96 < 0
\)
выполняется на промежутке между корнями:
\(
(-12; 8)
\)

Ответ:
\(
(-12; 8)
\)