ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 225 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1)
\(
\begin{cases}
6x^2 — 13x + 5 \geq 0, \\
8 — 2x > 0
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 27 < 0, \\
2x — x^2 \geq 0
\end{cases}
\)

Решить систему неравенств:

1)
\(
\begin{cases}
6x^2 — 13x + 5 \geq 0, \\
8 — 2x > 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
6x^2 — 13x + 5 \geq 0;
\)

\(
D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{13 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3};
\)

\(
(x — \frac{1}{2})(x — \frac{5}{3}) \geq 0, \quad x \leq \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{5}{3};
\)

Второе неравенство:
\(
8 — 2x > 0, \quad 2x < 8, \quad x < 4;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 4).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 27 < 0, \\
2x — x^2 \leq 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 6x — 27 < 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9;
\)

\(
(x + 3)(x — 9) < 0, \quad -3 < x < 9;
\)

Второе неравенство:
\(
2x — x^2 \leq 0, \quad x^2 — 2x \geq 0;
\)

\(
x(x — 2) \geq 0, \quad x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2;
\)

Ответ:
\(
(-3; 0] \cup [2; 9).
\)

1)
\(
\begin{cases}
6x^2 — 13x + 5 \geq 0, \\
8 — 2x > 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
6x^2 — 13x + 5 \geq 0.
\)

Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
\(
D = (-13)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49.
\)

Корни уравнения \(6x^2 — 13x + 5 = 0\) вычислим по формуле:
\(
x_{1} = \frac{13 — \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 — 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2},
\)
\(
x_{2} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}.
\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный (6 > 0), парабола направлена вверх. Тогда неравенство
\(
6x^2 — 13x + 5 \geq 0
\)
выполняется вне интервала между корнями, то есть:
\(
x \leq \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{5}{3}.
\)

Второе неравенство:
\(
8 — 2x > 0.
\)

Переносим \(2x\) направо:
\(
8 > 2x,
\)
делим на 2 (положительное число, знак не меняется):
\(
x < 4.
\)

Теперь нужно найти пересечение решений двух неравенств:
\(
\left( (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty) \right) \cap (-\infty; 4).
\)

Пересечение даёт:
\(
(-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 4).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 27 < 0, \\
2x — x^2 \leq 0
\end{cases}
\)

Рассмотрим первое неравенство:
\(
x^2 — 6x — 27 < 0.
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144.
\)

Корни уравнения \(x^2 — 6x — 27 = 0\) равны:
\(
x_1 = \frac{6 — \sqrt{144}}{2} = \frac{6 — 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9.
\)

Квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при \(x^2\) положителен вне интервала между корнями и отрицателен внутри. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, значит:
\(
-3 < x < 9.
\)

Второе неравенство:
\(
2x — x^2 \leq 0.
\)

Перепишем:
\(
-x^2 + 2x \leq 0,
\)
или умножим на \(-1\) (при этом знак меняется):
\(
x^2 — 2x \geq 0.
\)

Вынесем общий множитель:
\(
x(x — 2) \geq 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда оба множителя неотрицательны или оба отрицательны:
— либо \(x \geq 2\), тогда \(x-2 \geq 0\), и произведение неотрицательно;
— либо \(x \leq 0\), тогда \(x \leq 0\) и \(x-2 < 0\), произведение будет неотрицательным, так как произведение двух отрицательных чисел положительно.

Итог:
\(
x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2.
\)

Теперь найдём пересечение решений:
\(
(-3; 9) \cap \left( (-\infty; 0] \cup [2; +\infty) \right) = (-3; 0] \cup [2; 9).
\)