ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 226 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1)
\(
x^2 — 7|x| — 30 < 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(x) = x^2 — 7|x| — 30;
\)
\(
f(-x) = (-x)^2 — 7|-x| — 30;
\)
\(
f(-x) = x^2 — 7|x| — 30 = f(x);
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
x^2 — 7x — 30 < 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 1 \cdot 30 = 49 + 120 = 169,
\)

тогда корни:
\(
x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10;
\)

Неравенство:
\(
(x + 3)(x — 10) < 0 — -3 < x < 10;
\)

Ответ:
\(
(-10; 10).
\)

2)
\(
6x^2 + 5|x| — 1 \geq 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(x) = 6x^2 + 5|x| — 1;
\)
\(
f(-x) = 6(-x)^2 + 5|-x| — 1;
\)
\(
f(-x) = 6x^2 + 5|x| — 1 = f(x);
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
6x^2 + 5x — 1 \geq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 + 24 = 49,
\)

тогда корни:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1}{6};
\)

Неравенство:
\(
(x + 1)(x — \frac{1}{6}) \geq 0 — x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1}{6};
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -1] \cup \left[\frac{1}{6}; +\infty \right).
\)

1) Решение неравенства
\(
x^2 — 7|x| — 30 < 0
\)

Функция
\(
f(x) = x^2 — 7|x| — 30
\)
является чётной, так как
\(
f(-x) = (-x)^2 — 7|-x| — 30 = x^2 — 7|x| — 30 = f(x).
\)

Поэтому достаточно рассмотреть случай \(x \geq 0\), а для \(x < 0\) решение будет симметрично.

Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и неравенство принимает вид:
\(
x^2 — 7x — 30 < 0.
\)

Решим это квадратное неравенство. Для начала найдём корни квадратного уравнения
\(
x^2 — 7x — 30 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{7 — \sqrt{169}}{2} = \frac{7 — 13}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10.
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство
\(
x^2 — 7x — 30 < 0
\)
выполняется между корнями:
\(
-3 < x < 10.
\)

Но мы рассматривали только \(x \geq 0\), значит для \(x \geq 0\) решение:
\(
0 \leq x < 10.
\)

Для \(x < 0\) используем чётность функции и подставляем \(|x| = -x\):
\(
x^2 — 7|x| — 30 = x^2 — 7(-x) — 30 = x^2 + 7x — 30 < 0.
\)

Решим неравенство
\(
x^2 + 7x — 30 < 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-7 — 13}{2} = -10,
\)
\(
x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3.
\)

Неравенство выполняется между корнями:
\(
-10 < x < 3.
\)

Так как рассматриваем \(x < 0\), то берём часть решения
\(
-10 < x < 0.
\)

Объединяя оба промежутка решения для \(x \geq 0\) и \(x < 0\), получаем:
\(
(-10, 10).
\)

2) Решение неравенства
\(
6x^2 + 5|x| — 1 \geq 0.
\)

Функция
\(
f(x) = 6x^2 + 5|x| — 1
\)
чётная, потому что
\(
f(-x) = 6(-x)^2 + 5|-x| — 1 = 6x^2 + 5|x| — 1 = f(x).
\)

Рассмотрим \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\), и неравенство становится:
\(
6x^2 + 5x — 1 \geq 0.
\)

Найдём корни уравнения
\(
6x^2 + 5x — 1 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.
\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство
\(
6x^2 + 5x — 1 \geq 0
\)
выполняется на промежутках:
\(
(-\infty, -1] \cup \left[\frac{1}{6}, +\infty\right).
\)

Для \(x < 0\) подставим \(|x| = -x\), тогда неравенство:
\(
6x^2 + 5(-x) — 1 = 6x^2 — 5x — 1 \geq 0.
\)

Найдём корни уравнения
\(
6x^2 — 5x — 1 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{5 — 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6},
\)
\(
x_2 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1.
\)

Неравенство
\(
6x^2 — 5x — 1 \geq 0
\)
выполняется при
\(
x \leq -\frac{1}{6} \quad \text{или} \quad x \geq 1.
\)

Но мы рассматривали только \(x < 0\), значит берём часть
\(
x \leq -\frac{1}{6}.
\)

Объединяя решения для \(x \geq 0\) и \(x < 0\), получаем:
\(
(-\infty, -1] \cup \left[\frac{1}{6}, +\infty\right).
\)