ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 229 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \((x-4)^2 (x^2 — 8x + 12) < 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{8-4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8+4}{2} = \frac{12}{2} = 6;\)
\((x-2)(x-6) < 0, \quad x — 4 \neq 0;\)
\(2 < x < 6, \quad x \neq 4;\)
Ответ: \((2; 4) \cup (4; 6).\)

2) \((x-1)^2 (x^2 — x — 6) \leq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1-5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3;\)
\((x+2)(x-3) \leq 0, \quad x — 1 = 0;\)
\(-2 \leq x \leq 3, \quad x = 1;\)
Ответ: \([-2; 3].\)

3) \((x+2)^2 (x^2 + x — 20) \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;\)
\((x+5)(x-4) \geq 0, \quad x + 2 \neq 0;\)
\(x \leq -5, \quad x \geq 4, \quad x = -2;\)
Ответ: \((-\infty; -5] \cup \{-2\} \cup [4; +\infty).\)

4) \((x+5)^2 (x^2 + 2x — 3) > 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;\)
\((x+3)(x-1) > 0, \quad x + 5 \neq 0;\)
\(x < -3, \quad x > 1, \quad x \neq -5;\)
Ответ: \((-\infty; -5) \cup (-5; -3) \cup (1; +\infty).\)

5) \((x-5)^2 (x^2 — x — 6) \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;\)
\((x+2)(x-3) \geq 0, \quad x — 5 = 0;\)
\(x \leq -2, \quad x \geq 3, \quad x = 5;\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup [3; +\infty).\)

6) \((x-6)^2 (x^2 — 2x — 15) \leq 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,\) тогда:
\(x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5;\)
\((x+3)(x-5) \leq 0, \quad x — 6 = 0;\)
\(-3 \leq x \leq 5, \quad x = 6;\)
Ответ: \([-3; 5] \cup \{6\}.\)

7) \((x-2)^2 (x-3)^4 (x-4)^3 \geq 0;\)
\(x — 4 \geq 0, \quad x — 2 = 0, \quad x — 3 = 0;\)
\(x \geq 4, \quad x = 2, \quad x = 3;\)
Ответ: \(\{2; 3\} \cup [4; +\infty).\)

8) \((x-2)^2 (x-3)^3 (x-4)^4 (x-5)^5 \leq 0;\)
\((x-3)(x-5) \leq 0, \quad x — 2 = 0, \quad x — 4 = 0;\)
\(3 \leq x \leq 5, \quad x = 2, \quad x = 4;\)
Ответ: \(\{2\} \cup [3; 5].\)

9) \(\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + 4x + 4} < 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;\)
\((x + 3)(x — 4) < 0, \quad x + 2 \neq 0;\)
\(-3 < x < 4, \quad x \neq -2;\)
Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; 4).\)

10) \(\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 3x — 10} \geq 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,\) тогда:
\(x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;\)
\((x + 2)(x — 5) > 0, \quad x — 3 = 0;\)
\(x < -2, \quad x > 5, \quad x = 3;\)
Ответ: \((-\infty; -2) \cup \{3\} \cup (5; +\infty).\)

1) Рассмотрим неравенство
\(
(x-4)^2 (x^2 — 8x + 12) < 0.
\)

Для начала решим квадратное уравнение из второго множителя:
\(
x^2 — 8x + 12 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16.
\)

Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{8 — \sqrt{16}}{2} = \frac{8 — 4}{2} = 2,
\)
\(
x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6.
\)

Знак выражения \((x-4)^2\) всегда неотрицательный (квадрат любого выражения), поэтому он не влияет на знак всего произведения, кроме точки \(x=4\), где выражение равно нулю.

Значит, знак всего выражения зависит от знака \((x^2 — 8x + 12) = (x-2)(x-6)\).

Это выражение меньше нуля, когда
\(
2 < x < 6.
\)

Но при этом \(x \neq 4\), так как \((x-4)^2 = 0\) при \(x=4\), и тогда произведение равно нулю, а нам нужно строго меньше нуля.

Ответ:
\(
(2; 4) \cup (4; 6).
\)

2) Неравенство
\(
(x-1)^2 (x^2 — x — 6) \leq 0.
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 — x — 6 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.
\)

Факторизуем:
\(
x^2 — x — 6 = (x + 2)(x — 3).
\)

Квадрат \((x-1)^2 \geq 0\) и равен нулю при \(x=1\).

Чтобы произведение было меньше или равно нуля, необходимо, чтобы
\(
(x+2)(x-3) \leq 0,
\)
то есть
\(
-2 \leq x \leq 3.
\)

При этом учитываем, что \((x-1)^2 = 0\) при \(x=1\), и произведение в этой точке равно нулю, что удовлетворяет неравенству.

Ответ:
\(
[-2; 3].
\)

3) Неравенство
\(
(x+2)^2 (x^2 + x — 20) \geq 0.
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 + x — 20 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5,
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4.
\)

Факторизация:
\(
x^2 + x — 20 = (x+5)(x-4).
\)

Квадрат \((x+2)^2 \geq 0\) и равен нулю при \(x = -2\).

Произведение \((x+5)(x-4) \geq 0\) на промежутках:
\(
x \leq -5 \quad \text{или} \quad x \geq 4.
\)

Так как \((x+2)^2 \geq 0\) всегда, произведение будет неотрицательным на объединении этих промежутков и в точке \(x = -2\), где \((x+2)^2 = 0\).

Ответ:
\(
(-\infty; -5] \cup \{-2\} \cup [4; +\infty).
\)

4) Неравенство
\(
(x+5)^2 (x^2 + 2x — 3) > 0.
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 + 2x — 3 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)

Факторизация:
\(
x^2 + 2x — 3 = (x+3)(x-1).
\)

Квадрат \((x+5)^2 \geq 0\) и равен нулю при \(x = -5\).

Произведение больше нуля, если
\(
(x+3)(x-1) > 0,
\)
то есть
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1.
\)

При этом \(x \neq -5\), так как в этой точке произведение равно нулю (не строго больше).

Ответ:
\(
(-\infty; -5) \cup (-5; -3) \cup (1; +\infty).
\)

5) Неравенство
\(
(x-5)^2 (x^2 — x — 6) \geq 0.
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 — x — 6 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.
\)

Факторизация:
\(
x^2 — x — 6 = (x+2)(x-3).
\)

Квадрат \((x-5)^2 \geq 0\) и равен нулю при \(x = 5\).

Произведение \((x+2)(x-3) \geq 0\) на промежутках:
\(
x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 3.
\)

Таким образом, произведение неотрицательно на
\(
(-\infty; -2] \cup [3; +\infty),
\)
включая точку \(x = 5\), где \((x-5)^2 = 0\).

Ответ:
\(
(-\infty; -2] \cup [3; +\infty).
\)

6) Рассмотрим неравенство
\(
(x-6)^2 (x^2 — 2x — 15) \leq 0.
\)

Решим квадратное уравнение из второго множителя:
\(
x^2 — 2x — 15 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\)

Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5.
\)

Факторизуем:
\(
x^2 — 2x — 15 = (x+3)(x-5).
\)

Квадрат \((x-6)^2 \geq 0\) и равен нулю при \(x=6\).

Неравенство
\(
(x+3)(x-5) \leq 0
\)
выполняется на промежутке
\(
-3 \leq x \leq 5.
\)

Так как \((x-6)^2 \geq 0\) всегда, произведение будет меньше или равно нуля, если
\(
-3 \leq x \leq 5,
\)
или в точке \(x=6\), где \((x-6)^2 = 0\).

Ответ:
\(
[-3; 5] \cup \{6\}.
\)

7) Рассмотрим неравенство
\(
(x-2)^2 (x-3)^4 (x-4)^3 \geq 0.
\)

Все множители в квадрате или четной степени, кроме \((x-4)^3\), где степень нечетная.

Нули:
\(
x = 2, \quad x = 3, \quad x = 4.
\)

Знак произведения зависит от знака \((x-4)^3\), так как квадраты и четвёртая степень неотрицательны.

\((x-4)^3 \geq 0\) тогда и только тогда, когда
\(
x \geq 4.
\)

В точках \(x=2\) и \(x=3\) произведение равно нулю.

Ответ:
\(
\{2; 3\} \cup [4; +\infty).
\)

8) Рассмотрим неравенство
\(
(x-2)^2 (x-3)^3 (x-4)^4 (x-5)^5 \leq 0.
\)

Степени у множителей:
— \((x-2)^2\) — чётная степень, неотрицательно;
— \((x-3)^3\) — нечётная степень, меняет знак в точке 3;
— \((x-4)^4\) — чётная степень, неотрицательно;
— \((x-5)^5\) — нечётная степень, меняет знак в точке 5.

Произведение меняет знак только в точках с нечётной степенью: \(x=3\) и \(x=5\).

Проверим знак произведения на промежутках, выделенных корнями 3 и 5:

— Для \(x < 3\):
\((x-3)^3 < 0\),
\((x-5)^5 < 0\),
произведение нечётных степеней: отрицательное * отрицательное = положительное,
с учётом остальных множителей ≥ 0, произведение > 0.

— Для \(3 < x < 5\):
\((x-3)^3 > 0\),
\((x-5)^5 < 0\),
произведение нечётных степеней: положительное * отрицательное = отрицательное,
итого произведение < 0.

— Для \(x > 5\):
\((x-3)^3 > 0\),
\((x-5)^5 > 0\),
произведение > 0.

Также \((x-2)^2 = 0\) при \(x=2\), что даёт ноль произведения.

И \((x-4)^4 \geq 0\) всегда.

Искомое неравенство \(\leq 0\) выполняется, когда произведение отрицательно или равно нулю.

Отрицательно на промежутке
\(
3 < x < 5,
\)
равно нулю в точках
\(
x = 2, \quad x = 3, \quad x = 4, \quad x = 5.
\)

Ответ:
\(
\{2\} \cup [3; 5].
\)

9) Рассмотрим неравенство
\(
\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + 4x + 4} < 0.
\)

Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Числитель:
\(
x^2 — x — 12 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4.
\)

Факторизация числителя:
\(
(x+3)(x-4).
\)

Знаменатель:
\(
x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \geq 0,
\)
но знаменатель не должен равняться нулю, значит
\(
x \neq -2.
\)

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.

Так как знаменатель всегда положителен, кроме точки \(x=-2\) (где он равен нулю), знак дроби совпадает со знаком числителя.

Значит,
\(
\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + 4x + 4} < 0
\)
тогда и только тогда, когда
\(
x^2 — x — 12 < 0,
\)
то есть
\(
-3 < x < 4,
\)
с исключением точки \(x = -2\), где знаменатель равен нулю.

Ответ:
\(
(-3; -2) \cup (-2; 4).
\)

10) Рассмотрим неравенство
\(
\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 3x — 10} \geq 0.
\)

Числитель:
\(
x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2 \geq 0,
\)
равен нулю при \(x=3\).

Знаменатель:
\(
x^2 — 3x — 10 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5.
\)

Факторизация знаменателя:
\(
(x+2)(x-5).
\)

Знаменатель не должен равняться нулю, значит
\(
x \neq -2, \quad x \neq 5.
\)

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки или числитель равен нулю.

Числитель всегда неотрицателен, равен нулю только при \(x=3\).

Знаменатель положителен при
\(
x < -2 \quad \Rightarrow \quad (x+2)<0, (x-5)<0, \quad произведение > 0,
\)
но на самом деле
\(
(x+2)(x-5) > 0 \quad \text{при} \quad x < -2 \quad \text{или} \quad x > 5,
\)

и отрицателен при
\(
-2 < x < 5.
\)

Поскольку числитель неотрицателен, дробь будет неотрицательной, если знаменатель положителен или числитель равен нулю.

Значит,
\(
x < -2, \quad x = 3, \quad x > 5.
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2) \cup \{3\} \cup (5; +\infty).
\)