Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 230 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. \( \frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4} \)
2. \( \frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} < 2 \)
3. \( \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} > \frac{3}{x} \)
4. \( \frac{7}{x^2 — 9} — \frac{12}{x^2 — 4} > 0 \)
1)
\(
\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4};
\)
\(
\frac{2(x+3) — (x-4)}{(x+3)(x-4)} > 0;
\)
\(
\frac{2x + 6 — x + 4}{(x+3)(x-4)} > 0;
\)
\(
\frac{x + 10}{(x+3)(x-4)} > 0;
\)
\(
-10 < x < -3, \quad x > 4;
\)
Ответ:
\(
(-10; -3) \cup (4; +\infty).
\)
2)
\(
\frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} < 2;
\)
\(
\frac{2x(x+1) — (x+1)^2 + x(x-1)}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
\frac{2x^2 + 2x — x^2 — 2x — 1 + x^2 — x}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
\frac{2x^2 — x — 1}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
\frac{(x + 0.5)(x — 1)}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
x < -1, \quad -0.5 < x < 0, \quad x > 1;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -1) \cup (-0.5; 0) \cup (1; +\infty).
\)
3)
\(
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{x};
\)
\(
\frac{3(x-2)(x+2) — x(x+2) — x(x-2)}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{3x^2 — 12 — x^2 — 2x — x^2 + 2x}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{x^2 — 12}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{(x + 2\sqrt{3})(x — 2\sqrt{3})}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
x \leq -2\sqrt{3}, \quad -2 < x < 0, \quad 2 < x \leq 2\sqrt{3};
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -2\sqrt{3}] \cup (-2; 0) \cup (2; 2\sqrt{3}].
\)
4)
\(
\frac{7}{x^2 — 9} — \frac{12}{x^2 — 4} \geq 0;
\)
\(
\frac{7(x^2 — 4) — 12(x^2 — 9)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0;
\)
\(
\frac{7x^2 — 28 — 12x^2 + 108}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0;
\)
\(
\frac{80 — 5x^2}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0;
\)
\(
\frac{5(x^2 — 16)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \leq 0;
\)
\(
\frac{5(x + 4)(x — 4)}{(x + 3)(x — 3)(x + 2)(x — 2)} \leq 0;
\)
\(
-4 \leq x < -3, \quad -2 < x < 2, \quad 3 < x \leq 4;
\)
Ответ:
\(
[-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4].
\)
1)
\(
\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4}
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{2(x+3) — (x-4)}{(x+3)(x-4)} > 0
\)
Упростим числитель:
\(
\frac{2x + 6 — x + 4}{(x+3)(x-4)} > 0
\)
Получаем:
\(
\frac{x + 10}{(x+3)(x-4)} > 0
\)
Рассмотрим интервалы, где выражение положительно:
\(
-10 < x < -3, \quad x > 4
\)
Ответ:
\(
(-10; -3) \cup (4; +\infty)
\)
2)
\(
\frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} < 2
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{2x(x+1) — (x+1)^2 + x(x-1)}{x(x+1)} > 0
\)
Упростим числитель:
\(
\frac{2x^2 + 2x — x^2 — 2x — 1 + x^2 — x}{x(x+1)} > 0
\)
Получаем:
\(
\frac{2x^2 — x — 1}{x(x+1)} > 0
\)
Найдем дискриминант числителя:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1
\)
Разложим числитель на множители:
\(
\frac{(x + 0.5)(x — 1)}{x(x+1)} > 0
\)
Рассмотрим интервалы, где выражение положительно:
\(
x < -1, \quad -0.5 < x < 0, \quad x > 1
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -1) \cup (-0.5; 0) \cup (1; +\infty)
\)
3)
\(
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{x}
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{3(x-2)(x+2) — x(x+2) — x(x-2)}{x(x+2)(x-2)} \leq 0
\)
Упростим числитель:
\(
\frac{3x^2 — 12 — x^2 — 2x — x^2 + 2x}{x(x+2)(x-2)} \leq 0
\)
Получаем:
\(
\frac{x^2 — 12}{x(x+2)(x-2)} \leq 0
\)
Разложим числитель на множители:
\(
\frac{(x + 2\sqrt{3})(x — 2\sqrt{3})}{x(x+2)(x-2)} \leq 0
\)
Рассмотрим интервалы, где выражение неположительно:
\(
x \leq -2\sqrt{3}, \quad -2 < x < 0, \quad 2 < x \leq 2\sqrt{3}
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -2\sqrt{3}] \cup (-2; 0) \cup (2; 2\sqrt{3}]
\)
4)
\(
\frac{7}{x^2 — 9} — \frac{12}{x^2 — 4} \geq 0
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{7(x^2 — 4) — 12(x^2 — 9)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0
\)
Упростим числитель:
\(
7x^2 — 28 — 12x^2 + 108 = -5x^2 + 80
\)
Получаем:
\(
\frac{-5x^2 + 80}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0
\)
Разложим числитель на множители:
\(
-5(x^2 — 16) = -5(x + 4)(x — 4)
\)
Итак:
\(
\frac{-5(x + 4)(x — 4)}{(x + 3)(x — 3)(x + 2)(x — 2)} \geq 0
\)
Рассмотрим интервалы, где выражение неположительно:
\(
-4 \leq x < -3, \quad -2 < x < 2, \quad 3 < x \leq 4
\)
Ответ:
\(
[-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4]
\)