ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 233 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби следующие выражения:

\(
\begin{cases}
1) \quad a^{-3} + a^{-4}; \\
2) \quad m n^{-5} + m^{-5} n; \\
3) \quad (a^{-1} — b^{-1}) \cdot (a — b)^{-2}; \\
4) \quad (x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^{4} + y^{4})^{-1}.
\end{cases}
\)

1. \( a^{-3} + a^{-4} \):
\(
a^{-3} + a^{-4} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4} = \frac{a + 1}{a^4}
\)

2. \( mn^{-5} + m^{-5}n \):
\(
mn^{-5} + m^{-5}n = \frac{m}{n^5} + \frac{n}{m^5} = \frac{m^6 + n^6}{m^5n^5}
\)

3. \( (a^{-1} — b^{-1}) \cdot (a — b)^{-2} \):
\(
(a^{-1} — b^{-1}) \cdot (a — b)^{-2} = \left( \frac{1}{a} — \frac{1}{b} \right) \cdot \frac{1}{(a — b)^2} = \frac{1}{ab(a — b)^2}
\)

4. \( (x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1} \):
\(
(x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1} = \left( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4} \right) \cdot \frac{1}{x^4 + y^4} = \frac{x^4 + y^4}{x^4y^4(x^4 + y^4)} = \frac{1}{x^4y^4}
\)

1. Рассмотрим выражение
\(
a^{-3} + a^{-4}.
\)
Запишем через дроби с положительными степенями:
\(
a^{-3} + a^{-4} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4}.
\)
Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю \(a^4\):
\(
\frac{1}{a^3} = \frac{a}{a^4}.
\)
Тогда сумма равна:
\(
\frac{a}{a^4} + \frac{1}{a^4} = \frac{a + 1}{a^4}.
\)

2. Рассмотрим выражение
\(
m n^{-5} + m^{-5} n.
\)
Запишем через дроби:
\(
m n^{-5} + m^{-5} n = \frac{m}{n^5} + \frac{n}{m^5}.
\)
Общий знаменатель будет \(m^5 n^5\). Приведём каждую дробь к этому знаменателю:
\(
\frac{m}{n^5} = \frac{m \cdot m^5}{n^5 \cdot m^5} = \frac{m^6}{m^5 n^5},
\)
\(
\frac{n}{m^5} = \frac{n \cdot n^5}{m^5 \cdot n^5} = \frac{n^6}{m^5 n^5}.
\)
Складываем:
\(
\frac{m^6}{m^5 n^5} + \frac{n^6}{m^5 n^5} = \frac{m^6 + n^6}{m^5 n^5}.
\)

3. Рассмотрим выражение
\(
(a^{-1} — b^{-1}) \cdot (a — b)^{-2}.
\)
Запишем через дроби:
\(
(a^{-1} — b^{-1}) \cdot (a — b)^{-2} = \left(\frac{1}{a} — \frac{1}{b}\right) \cdot \frac{1}{(a — b)^2}.
\)
Вычислим разность в скобках:
\(
\frac{1}{a} — \frac{1}{b} = \frac{b — a}{ab}.
\)
Подставим обратно:
\(
\frac{b — a}{ab} \cdot \frac{1}{(a — b)^2}.
\)
Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), значит:
\(
\frac{b — a}{(a — b)^2} = \frac{-(a — b)}{(a — b)^2} = -\frac{1}{a — b}.
\)
Тогда выражение равно:
\(
-\frac{1}{ab (a — b)}.
\)

4. Рассмотрим выражение
\(
(x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1}.
\)
Запишем через дроби:
\(
\left(\frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}\right) \cdot \frac{1}{x^4 + y^4}.
\)
Приведём сумму в скобках к общему знаменателю \(x^4 y^4\):
\(
\frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4} = \frac{y^4}{x^4 y^4} + \frac{x^4}{x^4 y^4} = \frac{x^4 + y^4}{x^4 y^4}.
\)
Подставим обратно:
\(
\frac{x^4 + y^4}{x^4 y^4} \cdot \frac{1}{x^4 + y^4} = \frac{1}{x^4 y^4}.
\)