ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 234 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

\(
\begin{cases}
1) \quad \frac{3^{12} \cdot 27^{3}}{9^{9}}; \\[10pt]
2) \quad \left(5 \frac{1}{3}\right)^{8} \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^{7}; \\[10pt]
3) \quad 100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0{,}01^{8}; \\[10pt]
4) \quad \left(2 \frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3}; \\[10pt]
5) \quad \frac{\left(0{,}2^{-3}\right)^{-2}}{25^{-4}}; \\[10pt]
6) \quad \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^{7}}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}; \\[10pt]
7) \quad \frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}}; \\[10pt]
8) \quad \frac{14^{5} \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^{6}}.
\end{cases}
\)

1) \(\frac{3^{12} \cdot 27^{3}}{9^{9}} = \frac{3^{12} \cdot 3^{3 \cdot 3}}{3^{2 \cdot 9}} = \frac{3^{12} \cdot 3^{9}}{3^{18}} = 3^{3} = 27;\)

2) \(\left(5 \frac{1}{3}\right)^{8} \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^{7} = \left(\frac{16}{3}\right)^{8} \cdot \left(\frac{16}{3}\right)^{-7} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3};\)

3) \(100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0,01^{8} = 10^{2 \cdot (-2)} \cdot 10^{3 \cdot 6} \cdot 10^{-2 \cdot 8} = 10^{-4} \cdot 10^{18} \cdot 10^{-1} =\)
\(= 10^{14} \cdot 10^{-16} = 10^{-2} = 0,01;\)

4) \(\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3} = \left(\frac{9}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2 \cdot (-4)} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{9} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-8} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{9} =\)
\(= \frac{3}{2} = 1,5;\)

5) \(\left(0,2^{-3}\right)^{-2} : 25^{-4} = \left(\frac{1}{5}\right)^{6} \cdot 25^{4} = \left(\frac{1}{5}\right)^{6} \cdot 5^{8} = 5^{-6} \cdot 5^{8} = 5^{2} = 25;\)

6) \(\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^{7}}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{2 \cdot (-3)} \cdot 6^{7}}{6^{3 \cdot (-5)} \cdot (-6)^{18}} = \frac{6^{-6} \cdot 6^{7}}{6^{-15} \cdot 6^{18}} = \frac{6}{6^{3}} = \frac{1}{6^{2}} = — \frac{1}{36};\)

7) \(\frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}} = \frac{6^{-14}}{3^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{4 \cdot (-4)}} = \frac{6^{-14}}{3^{-12} \cdot 2^{-16}} = 6^{-14} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9};\)

8) \(\frac{14^{5} \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^{6}} = \frac{7^{5} \cdot 2^{5} \cdot 2^{-6}}{(7 \cdot 2)^{-2} \cdot 7^{6}} = \frac{7^{5} \cdot 2^{-1}}{7^{-2} \cdot 2^{-2} \cdot 7^{6}} = 7^{5+2-6} \cdot 2^{-1+2} = 7^{1} \cdot 2^{1} = 7 \cdot 2^{3} = 56.\)

1)
\(
\frac{3^{12} \cdot 27^{3}}{9^{9}} = \frac{3^{12} \cdot (3^3)^3}{(3^2)^9} = \frac{3^{12} \cdot 3^{9}}{3^{18}} = 3^{12 + 9 — 18} = 3^{3} = 27.
\)

2)
Сначала представим смешанное число в неправильную дробь:
\(
5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3}.
\)
Тогда:
\(
\left(5 \frac{1}{3}\right)^8 \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^7 = \left(\frac{16}{3}\right)^8 \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^7 = \left(\frac{16}{3}\right)^8 \cdot \left(\frac{16}{3}\right)^{-7} = \left(\frac{16}{3}\right)^{8-7} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}.
\)

3)
Переведём все числа в степени десяти:
\(
100 = 10^2, \quad 1000 = 10^3, \quad 0{,}01 = 10^{-2}.
\)
Тогда:
\(
100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0{,}01^{8} = 10^{2 \cdot (-2)} : 10^{3 \cdot (-6)} \cdot 10^{-2 \cdot 8} = 10^{-4} : 10^{-18} \cdot 10^{-16}.
\)
Деление на степень — это вычитание показателей:
\(
10^{-4} \cdot 10^{18} \cdot 10^{-16} = 10^{-4 + 18 — 16} = 10^{-2} = 0,01.
\)

4)
Сначала преобразуем смешанное число:
\(
2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.
\)
Подставим в выражение:
\(
\left(\frac{9}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3} = \left(\frac{9}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9}.
\)
Представим \(\frac{9}{4}\) как \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\):
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^{2 \cdot (-4)} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{9} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-8} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^9 = \left(\frac{3}{2}\right)^{1} = \frac{3}{2} = 1{,}5.
\)

5)
Запишем \(0{,}2\) как \(\frac{1}{5}\):
\(
(0{,}2^{-3})^{-2} : 25^{-4} = \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\right)^{-2} : 25^{-4} = \left(\frac{1}{5}\right)^{6} \cdot 25^{4}.
\)
Преобразуем \(25 = 5^2\):
\(
\left(\frac{1}{5}\right)^{6} \cdot (5^2)^4 = 5^{-6} \cdot 5^{8} = 5^{2} = 25.
\)

6)
Разложим числа на простые основания:
\(
-36 = -6^2, \quad 216 = 6^3.
\)
Тогда:
\(
\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^{7}}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{2 \cdot (-3)} \cdot 6^{7}}{6^{3 \cdot (-5)} \cdot (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{-6} \cdot 6^{7}}{6^{-15} \cdot (-6)^{18}}.
\)
Представим \((-6)^{18} = (-1)^{18} \cdot 6^{18} = 6^{18}\), так как \((-1)^{18} = 1\). Аналогично, \((-6)^{-6} = (-1)^{-6} \cdot 6^{-6} = 6^{-6}\).
Тогда:
\(
\frac{6^{-6} \cdot 6^{7}}{6^{-15} \cdot 6^{18}} = \frac{6^{1}}{6^{3}} = 6^{1-3} = 6^{-2} = \frac{1}{36}.
\)

7)
Разложим основания:
\(
81 = 3^4, \quad 16 = 2^4.
\)
Тогда:
\(
\frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}} = \frac{6^{-14}}{3^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{4 \cdot (-4)}} = \frac{6^{-14}}{3^{-12} \cdot 2^{-16}} = 6^{-14} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}.
\)
Представим \(6 = 2 \cdot 3\), тогда:
\(
6^{-14} = (2 \cdot 3)^{-14} = 2^{-14} \cdot 3^{-14}.
\)
Подставим:
\(
2^{-14} \cdot 3^{-14} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16} = 2^{-14 + 16} \cdot 3^{-14 + 12} = 2^{2} \cdot 3^{-2} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9}.
\)

8)
Разложим числа:
\(
14 = 7 \cdot 2, \quad 28 = 7 \cdot 4 = 7 \cdot 2^2.
\)
Подставим:
\(
\frac{14^{5} \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^{6}} = \frac{(7 \cdot 2)^{5} \cdot 2^{-6}}{(7 \cdot 2^2)^{-2} \cdot 7^{6}} = \frac{7^{5} \cdot 2^{5} \cdot 2^{-6}}{7^{-2} \cdot 2^{-4} \cdot 7^{6}}.
\)
Сгруппируем степени по основаниям:
\(
= \frac{7^{5} \cdot 2^{-1}}{7^{-2 + 6} \cdot 2^{-4}} = 7^{5} \cdot 2^{-1} \cdot 7^{-4} \cdot 2^{4} = 7^{5 — 4} \cdot 2^{-1 + 4} = 7^{1} \cdot 2^{3} = 7 \cdot 8 = 56.
\)