ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 240 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1)
\(
\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[3 \cdot 6]{m} = \sqrt[18]{m};
\)

2)
\(
\sqrt[2]{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[2 \cdot 4]{a} = \sqrt[8]{a};
\)

3)
\(
\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}} = \sqrt[9 \cdot 5]{x} = \sqrt[45]{x};
\)

4)
\(
\sqrt[15]{b^{10}} = \sqrt[15]{b^{5 \cdot 2}} = \sqrt[3]{b^2};
\)

5)
\(
\sqrt[6]{a^3 b^9} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^3 b^9} = \sqrt{a^3 b^3}.
\)

1)
\(
\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}}
\)

Шаг 1: Внутренний корень \(\sqrt[6]{m}\) можно записать как степень с дробным показателем:
\(
\sqrt[6]{m} = m^{\frac{1}{6}}
\)

Шаг 2: Подставляем это в внешний корень:
\(
\sqrt[3]{m^{\frac{1}{6}}}
\)

Шаг 3: Корень степени \(n\) — это возведение в степень \(\frac{1}{n}\), значит:
\(
\left(m^{\frac{1}{6}}\right)^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{18}}
\)

Шаг 4: Записываем результат в корневой форме:
\(
m^{\frac{1}{18}} = \sqrt[18]{m}
\)

2)
\(
\sqrt[2]{\sqrt[4]{a}}
\)

Шаг 1: Внутренний корень:
\(
\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}
\)

Шаг 2: Подставляем во внешний корень:
\(
\sqrt[2]{a^{\frac{1}{4}}}
\)

Шаг 3: Возводим в степень:
\(
\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{8}}
\)

Шаг 4: Записываем в корневой форме:
\(
a^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{a}
\)

3)
\(
\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}}
\)

Шаг 1: Внутренний корень:
\(
\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}
\)

Шаг 2: Подставляем во внешний корень:
\(
\sqrt[9]{x^{\frac{1}{5}}}
\)

Шаг 3: Возводим в степень:
\(
\left(x^{\frac{1}{5}}\right)^{\frac{1}{9}} = x^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9}} = x^{\frac{1}{45}}
\)

Шаг 4: Записываем в корневой форме:
\(
x^{\frac{1}{45}} = \sqrt[45]{x}
\)

4)
\(
\sqrt[15]{b^{10}}
\)

Шаг 1: Записываем корень как степень:
\(
b^{\frac{10}{15}}
\)

Шаг 2: Сокращаем дробь:
\(
\frac{10}{15} = \frac{2}{3}
\)

Шаг 3: Записываем степень обратно в корень:
\(
b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^{2}}
\)

5)
\(
\sqrt[6]{a^{3} b^{9}}
\)

Шаг 1: Корень степени 6 — это возведение в степень \(\frac{1}{6}\):
\(
(a^{3} b^{9})^{\frac{1}{6}} = a^{3 \cdot \frac{1}{6}} b^{9 \cdot \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} b^{\frac{9}{6}}
\)

Шаг 2: Сокращаем степени:
\(
a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}}
\)

Шаг 3: Переписываем:
\(
a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \quad b^{\frac{3}{2}} = b^{3 \cdot \frac{1}{2}} = (b^{3})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b^{3}}
\)

Шаг 4: Итог:
\(
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b^{3}} = \sqrt{a b^{3}}
\)