ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 241 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\sqrt{9x^8 y^{10}} = \sqrt{3^2 x^{2 \cdot 4} y^{2 \cdot 5}} = 3x^4 y^5, \quad y \geq 0;\)

2) \(\sqrt{0,64 x^6 y^2} = \sqrt{0,8^2 x^{2 \cdot 3} y^2} = -0,8 x^3 y, \quad x \leq 0, \quad y \geq 0;\)

3) \(\sqrt[7]{k^7} = k;\)

4) \(\sqrt[3]{0,008 p^{24} n^{30}} = \sqrt[3]{0,2^3 p^{3 \cdot 8} n^{3 \cdot 10}} = 0,2 p^8 n^{10};\)

5) \(\sqrt[4]{625 x^{20} y^{12} z^{16}} = \sqrt[4]{5^4 x^{4 \cdot 5} y^{4 \cdot 3} z^{4 \cdot 4}} = 5 x^5 y^3 z^4, \quad x \geq 0, \quad y \leq 0;\)

6) \(2,5 x^2 \sqrt[4]{256 x^{28}} = 2,5 x^2 \cdot \sqrt[4]{4^4 x^{4 \cdot 7}} = 2,5 x^2 \cdot 4 x^7 = 10 x^9, \quad x \geq 0.\)

1) Упростим выражение \(\sqrt{9x^8 y^{10}}\).

Сначала представим подкоренное выражение в виде квадратов степеней:

\(
9x^8 y^{10} = 3^2 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 5}.
\)

Тогда извлечение квадратного корня даёт:

\(
\sqrt{9x^8 y^{10}} = \sqrt{3^2 \cdot x^{8} \cdot y^{10}} = 3 x^{4} y^{5}.
\)

Условие: \(y \geq 0\), чтобы корень был определён (неотрицательный результат).

2) Упростим \(\sqrt{0,64 x^6 y^2}\).

Представим подкоренное выражение:

\(
0,64 x^6 y^2 = (0,8)^2 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^2.
\)

Извлекая корень:

\(
\sqrt{0,64 x^6 y^2} = \sqrt{(0,8)^2 \cdot x^{6} \cdot y^{2}} = 0,8 |x^3| |y|.
\)

В условии дан знак минус перед результатом, так как \(x \leq 0\), а \(y \geq 0\), то:

\(
x^3 = (x)^3 \leq 0,
\)

значит

\(
\sqrt{0,64 x^6 y^2} = -0,8 x^3 y.
\)

3) Упростим \(\sqrt[7]{k^7}\).

Корень седьмой степени от \(k^7\) равен:

\(
\sqrt[7]{k^7} = k.
\)

4) Упростим \(\sqrt[3]{0,008 p^{24} n^{30}}\).

Представим число и степени в виде кубов:

\(
0,008 = 0,2^3, \quad p^{24} = (p^8)^3, \quad n^{30} = (n^{10})^3.
\)

Тогда:

\(
\sqrt[3]{0,008 p^{24} n^{30}} = \sqrt[3]{0,2^3 \cdot (p^8)^3 \cdot (n^{10})^3} = 0,2 p^8 n^{10}.
\)

5) Упростим \(\sqrt[4]{625 x^{20} y^{12} z^{16}}\).

Разложим подкоренное выражение:

\(
625 = 5^4, \quad x^{20} = (x^5)^4, \quad y^{12} = (y^3)^4, \quad z^{16} = (z^4)^4.
\)

Тогда:

\(
\sqrt[4]{625 x^{20} y^{12} z^{16}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (x^5)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot (z^4)^4} = 5 x^5 y^3 z^4.
\)

Условие: \(x \geq 0, y \leq 0\) (для определения знака корня).

6) Упростим \(2,5 x^2 \sqrt[4]{256 x^{28}}\).

Разложим подкоренное выражение:

\(
256 = 4^4, \quad x^{28} = x^{4 \cdot 7}.
\)

Тогда:

\(
\sqrt[4]{256 x^{28}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot x^{4 \cdot 7}} = 4 x^7.
\)

Умножаем на \(2,5 x^2\):

\(
2,5 x^2 \cdot 4 x^7 = 10 x^{9}.
\)

Условие: \(x \geq 0\).