ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 246 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные значения):}
\)
\(
1) \left( b \cdot \left( b^4 \right)^{\frac{1}{5}} \right)^{\frac{1}{4}}
\)
\(
2) \left( c \cdot \left( c^2 \right)^{\frac{1}{7}} \right)^{\frac{1}{3}}
\)
\(
3) \left( a^2 \cdot \left( a^2 \right)^{\frac{1}{5}} \right)^{\frac{1}{6}}
\)

1) \(\sqrt[4]{b^5 \sqrt{b^4}} = \sqrt[4 \cdot 5]{b^5 \cdot b^4} = \sqrt[20]{b^9}\);

2) \(\sqrt[3]{c^7 \sqrt{c^2}} = \sqrt[3 \cdot 7]{c^7 \cdot c^2} = \sqrt[21]{c^9} = \sqrt[7]{c^3}\);

3) \(\sqrt[6]{a^2 \sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[6 \cdot 5]{a^{2 \cdot 5} \cdot a^2} = \sqrt[30]{a^{12}} = \sqrt[5]{a^2}\);

1) Рассмотрим первое выражение:

\(
\sqrt[4]{b^5 \sqrt{b^4}}
\)

Сначала упростим \(\sqrt{b^4}\):

\(
\sqrt{b^4} = b^{4/2} = b^2
\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(
\sqrt[4]{b^5 \cdot b^2}
\)

При умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются, поэтому:

\(
b^5 \cdot b^2 = b^{5+2} = b^7
\)

Теперь выражение принимает вид:

\(
\sqrt[4]{b^7}
\)

Используем правило преобразования корней: \(\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot m]{x}\). Тогда:

\(
\sqrt[4]{b^7} = \sqrt[4 \cdot 7]{b^7} = \sqrt[20]{b^9}
\)

Окончательный результат:

\(
\sqrt[4]{b^5 \sqrt{b^4}} = \sqrt[20]{b^9}
\)

2) Рассмотрим второе выражение:

\(
\sqrt[3]{c^7 \sqrt{c^2}}
\)

Сначала упростим \(\sqrt{c^2}\):

\(
\sqrt{c^2} = c^{2/2} = c
\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(
\sqrt[3]{c^7 \cdot c}
\)

При умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются, поэтому:

\(
c^7 \cdot c = c^{7+1} = c^8
\)

Теперь выражение принимает вид:

\(
\sqrt[3]{c^8}
\)

Используем правило преобразования корней: \(\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot m]{x}\). Тогда:

\(
\sqrt[3]{c^8} = \sqrt[3 \cdot 8]{c^8} = \sqrt[7]{c^3}
\)

Окончательный результат:

\(
\sqrt[3]{c^7 \sqrt{c^2}} = \sqrt[7]{c^3}
\)

3) Рассмотрим третье выражение:

\(
\sqrt[6]{a^2 \sqrt[5]{a^2}}
\)

Сначала упростим \(\sqrt[5]{a^2}\). Используем правило преобразования корней:

\(
\sqrt[5]{a^2} = a^{2/5}
\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(
\sqrt[6]{a^2 \cdot a^{2/5}}
\)

При умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются, поэтому:

\(
a^2 \cdot a^{2/5} = a^{2 + 2/5}
\)

Приведем степени к общему знаменателю. Для этого \(2 = \frac{10}{5}\), тогда:

\(
a^{2 + 2/5} = a^{10/5 + 2/5} = a^{12/5}
\)

Теперь выражение принимает вид:

\(
\sqrt[6]{a^{12/5}}
\)

Используем правило преобразования корней: \(\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}\). Тогда:

\(
\sqrt[6]{a^{12/5}} = a^{(12/5)/6} = a^{12/(5 \cdot 6)} = a^{12/30}
\)

Сократим дробь \(12/30\), получим \(2/5\):

\(
a^{12/30} = a^{2/5}
\)

Окончательный результат:

\(
\sqrt[6]{a^2 \sqrt[5]{a^2}} = a^{2/5}
\)