Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 247 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\begin{aligned}
1) &\quad \sqrt{45} — \sqrt{125} + \sqrt{405}; \\
2) &\quad (3\sqrt{6} — 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} — \sqrt{108}; \\
3) &\quad (\sqrt{99} — \sqrt{44})\sqrt{11}; \\
4) &\quad (5 — \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7}); \\
5) &\quad (\sqrt{14} — \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11}); \\
6) &\quad (2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2.
\end{aligned}
\)
1) \(\sqrt{45} — \sqrt{125} + \sqrt{405} =\)
\(= \sqrt{9 \cdot 5} — \sqrt{25 \cdot 5} + \sqrt{81 \cdot 5} =\)
\(= 3\sqrt{5} — 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = 7\sqrt{5};\)
2) \((3\sqrt{6} — 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} — \sqrt{108} =\)
\(= 3\sqrt{12} — 5\sqrt{16} + 7\sqrt{64} — \sqrt{108} =\)
\(= 3\sqrt{4 \cdot 3} — 5 \cdot 4 + 7 \cdot 8 — \sqrt{36 \cdot 3} =\)
\(= 6\sqrt{3} — 20 + 56 — 6\sqrt{3} = 36;\)
3) \((\sqrt{99} — \sqrt{44})\sqrt{11} = (\sqrt{9 \cdot 11} — \sqrt{4 \cdot 11})\sqrt{11} =\)
\(= (3\sqrt{11} — 2\sqrt{11})\sqrt{11} = 3 \cdot 11 — 2 \cdot 11 = 33 — 22 = 11;\)
4) \((5 — \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7}) = 15 + 10\sqrt{7} — 3\sqrt{7} — 14 = 1 + 7\sqrt{7};\)
5) \((\sqrt{14} — \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11}) = 14 — 11 = 3;\)
6) \((2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2 = 20 + 12\sqrt{10} + 18 = 38 + 12\sqrt{10};\)
1) \(\sqrt{45} — \sqrt{125} + \sqrt{405}\)
Шаг 1: Разложим подкоренные выражения на множители:
\(
\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5}
\)
\(
\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5}
\)
\(
\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5}
\)
Шаг 2: Вынесем квадратные корни из квадратов:
\(
\sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}
\)
\(
\sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}
\)
\(
\sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{5} = 9\sqrt{5}
\)
Шаг 3: Подставим обратно:
\(
3\sqrt{5} — 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5}
\)
Шаг 4: Сложим/вычтем коэффициенты:
\(
(3 — 5 + 9)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}
\)
2) \((3\sqrt{6} — 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} — \sqrt{108}\)
Шаг 1: Раскроем скобки и перемножим корни:
\(
3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{12}
\)
\(
-5\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = -5\sqrt{16}
\)
\(
7\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{64}
\)
\(
-\sqrt{108}
\)
Шаг 2: Упростим подкоренные выражения:
\(
\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt{16} = 4
\)
\(
\sqrt{64} = 8
\)
\(
\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}
\)
Шаг 3: Подставим значения:
\(
3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
\)
\(
-5 \cdot 4 = -20
\)
\(
7 \cdot 8 = 56
\)
\(
-6\sqrt{3}
\)
Шаг 4: Соберём всё вместе:
\(
6\sqrt{3} — 20 + 56 — 6\sqrt{3}
\)
Шаг 5: Приведём подобные:
\(
(6\sqrt{3} — 6\sqrt{3}) + (56 — 20) = 0 + 36 = 36
\)
3) \((\sqrt{99} — \sqrt{44})\sqrt{11}\)
Шаг 1: Раскроем скобки:
\(
\sqrt{99} \cdot \sqrt{11} — \sqrt{44} \cdot \sqrt{11}
\)
Шаг 2: Перемножим подкоренные выражения:
\(
\sqrt{99 \cdot 11} — \sqrt{44 \cdot 11}
\)
Шаг 3: Упростим:
\(
99 \cdot 11 = 1089 = 9 \cdot 121
\)
\(
44 \cdot 11 = 484 = 4 \cdot 121
\)
Шаг 4: Вынесем корни:
\(
\sqrt{9 \cdot 121} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{121} = 3 \cdot 11 = 33
\)
\(
\sqrt{4 \cdot 121} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{121} = 2 \cdot 11 = 22
\)
Шаг 5: Вычтем:
\(
33 — 22 = 11
\)
4) \((5 — \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})\)
Шаг 1: Раскроем скобки по формуле распределения:
\(
5 \cdot 3 + 5 \cdot 2\sqrt{7} — \sqrt{7} \cdot 3 — \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7}
\)
Шаг 2: Перемножим:
\(
5 \cdot 3 = 15
\)
\(
5 \cdot 2\sqrt{7} = 10\sqrt{7}
\)
\(
— \sqrt{7} \cdot 3 = -3\sqrt{7}
\)
\(
— \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = -2(\sqrt{7})^2 = -2 \cdot 7 = -14
\)
Шаг 3: Соберём вместе:
\(
15 + 10\sqrt{7} — 3\sqrt{7} — 14
\)
Шаг 4: Приведём подобные:
\(
(15 — 14) + (10\sqrt{7} — 3\sqrt{7}) = 1 + 7\sqrt{7}
\)
5) \((\sqrt{14} — \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11})\)
Шаг 1: Формула разности квадратов:
\(
(a — b)(a + b) = a^2 — b^2
\)
Шаг 2: Подставим значения:
\(
(\sqrt{14})^2 — (\sqrt{11})^2 = 14 — 11 = 3
\)
6) \((2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2\)
Шаг 1: Формула квадрата суммы:
\(
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\)
Шаг 2: Подставим значения:
\(
(2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2
\)
Шаг 3: Посчитаем каждое слагаемое:
\(
(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20
\)
\(
2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}\sqrt{2} = 12\sqrt{10}
\)
\(
(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18
\)
Шаг 4: Соберём вместе:
\(
20 + 12\sqrt{10} + 18 = 38 + 12\sqrt{10}
\)