ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 247 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\sqrt{45} — \sqrt{125} + \sqrt{405} =\)
\(= \sqrt{9 \cdot 5} — \sqrt{25 \cdot 5} + \sqrt{81 \cdot 5} =\)
\(= 3\sqrt{5} — 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = 7\sqrt{5};\)

2) \((3\sqrt{6} — 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} — \sqrt{108} =\)
\(= 3\sqrt{12} — 5\sqrt{16} + 7\sqrt{64} — \sqrt{108} =\)
\(= 3\sqrt{4 \cdot 3} — 5 \cdot 4 + 7 \cdot 8 — \sqrt{36 \cdot 3} =\)
\(= 6\sqrt{3} — 20 + 56 — 6\sqrt{3} = 36;\)

3) \((\sqrt{99} — \sqrt{44})\sqrt{11} = (\sqrt{9 \cdot 11} — \sqrt{4 \cdot 11})\sqrt{11} =\)
\(= (3\sqrt{11} — 2\sqrt{11})\sqrt{11} = 3 \cdot 11 — 2 \cdot 11 = 33 — 22 = 11;\)

4) \((5 — \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7}) = 15 + 10\sqrt{7} — 3\sqrt{7} — 14 = 1 + 7\sqrt{7};\)

5) \((\sqrt{14} — \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11}) = 14 — 11 = 3;\)

6) \((2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2 = 20 + 12\sqrt{10} + 18 = 38 + 12\sqrt{10};\)

1) \(\sqrt{45} — \sqrt{125} + \sqrt{405}\)

Шаг 1: Разложим подкоренные выражения на множители:

\(
\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5}
\)
\(
\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5}
\)
\(
\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5}
\)

Шаг 2: Вынесем квадратные корни из квадратов:

\(
\sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}
\)
\(
\sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}
\)
\(
\sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{5} = 9\sqrt{5}
\)

Шаг 3: Подставим обратно:

\(
3\sqrt{5} — 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5}
\)

Шаг 4: Сложим/вычтем коэффициенты:

\(
(3 — 5 + 9)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}
\)

2) \((3\sqrt{6} — 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} — \sqrt{108}\)

Шаг 1: Раскроем скобки и перемножим корни:

\(
3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{12}
\)
\(
-5\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = -5\sqrt{16}
\)
\(
7\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{64}
\)
\(
-\sqrt{108}
\)

Шаг 2: Упростим подкоренные выражения:

\(
\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt{16} = 4
\)
\(
\sqrt{64} = 8
\)
\(
\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}
\)

Шаг 3: Подставим значения:

\(
3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
\)
\(
-5 \cdot 4 = -20
\)
\(
7 \cdot 8 = 56
\)
\(
-6\sqrt{3}
\)

Шаг 4: Соберём всё вместе:

\(
6\sqrt{3} — 20 + 56 — 6\sqrt{3}
\)

Шаг 5: Приведём подобные:

\(
(6\sqrt{3} — 6\sqrt{3}) + (56 — 20) = 0 + 36 = 36
\)

3) \((\sqrt{99} — \sqrt{44})\sqrt{11}\)

Шаг 1: Раскроем скобки:

\(
\sqrt{99} \cdot \sqrt{11} — \sqrt{44} \cdot \sqrt{11}
\)

Шаг 2: Перемножим подкоренные выражения:

\(
\sqrt{99 \cdot 11} — \sqrt{44 \cdot 11}
\)

Шаг 3: Упростим:

\(
99 \cdot 11 = 1089 = 9 \cdot 121
\)
\(
44 \cdot 11 = 484 = 4 \cdot 121
\)

Шаг 4: Вынесем корни:

\(
\sqrt{9 \cdot 121} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{121} = 3 \cdot 11 = 33
\)
\(
\sqrt{4 \cdot 121} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{121} = 2 \cdot 11 = 22
\)

Шаг 5: Вычтем:

\(
33 — 22 = 11
\)

4) \((5 — \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})\)

Шаг 1: Раскроем скобки по формуле распределения:

\(
5 \cdot 3 + 5 \cdot 2\sqrt{7} — \sqrt{7} \cdot 3 — \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7}
\)

Шаг 2: Перемножим:

\(
5 \cdot 3 = 15
\)
\(
5 \cdot 2\sqrt{7} = 10\sqrt{7}
\)
\(
— \sqrt{7} \cdot 3 = -3\sqrt{7}
\)
\(
— \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = -2(\sqrt{7})^2 = -2 \cdot 7 = -14
\)

Шаг 3: Соберём вместе:

\(
15 + 10\sqrt{7} — 3\sqrt{7} — 14
\)

Шаг 4: Приведём подобные:

\(
(15 — 14) + (10\sqrt{7} — 3\sqrt{7}) = 1 + 7\sqrt{7}
\)

5) \((\sqrt{14} — \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11})\)

Шаг 1: Формула разности квадратов:

\(
(a — b)(a + b) = a^2 — b^2
\)

Шаг 2: Подставим значения:

\(
(\sqrt{14})^2 — (\sqrt{11})^2 = 14 — 11 = 3
\)

6) \((2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2\)

Шаг 1: Формула квадрата суммы:

\(
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\)

Шаг 2: Подставим значения:

\(
(2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2
\)

Шаг 3: Посчитаем каждое слагаемое:

\(
(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20
\)
\(
2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}\sqrt{2} = 12\sqrt{10}
\)
\(
(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18
\)

Шаг 4: Соберём вместе:

\(
20 + 12\sqrt{10} + 18 = 38 + 12\sqrt{10}
\)