ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 252 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Условие задачи: упростить следующие выражения:

1. \( \frac{\sqrt{a} — 5}{\sqrt{a — 1}} — \frac{\sqrt{a} — 4}{\sqrt{a}} \);
2. \( \frac{\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{ab}} — \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{ab} + b} \);
3. \( \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} — 2} — \frac{8\sqrt{x}}{x — 4} \right) \cdot \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} — 2} \);
4. \( \frac{a — 49}{\sqrt{a} + 2} \cdot \frac{1}{a + 7\sqrt{a}} — \frac{\sqrt{a} + 7}{a — 2\sqrt{a}} \).

1)
\( \frac{\sqrt{a} — 5}{\sqrt{a — 1}} — \frac{\sqrt{a} — 4}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} — 5) — (\sqrt{a} — 4)(\sqrt{a — 1})}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a — 1}} = \frac{a — 5\sqrt{a} — a + \sqrt{a} + 4\sqrt{a} — 4}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a — 1})} =\)
\(= \frac{5\sqrt{a} — 5\sqrt{a} — 4}{a — \sqrt{a}} = \frac{4}{\sqrt{a} — a}; \)

2)
\( \frac{\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{ab}} — \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a + \sqrt{b}})} — \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{b} \cdot (\sqrt{a + \sqrt{b}})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} + 1) — \sqrt{a}(\sqrt{b} — 1)}{\sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a + \sqrt{b}})} =  \)
\(= \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{b} — \sqrt{ab} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a + \sqrt{b}})} = \frac{1}{\sqrt{ab}}; \)

3)
\( \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} — 2} — \frac{8\sqrt{x}}{x — 4} \right) \cdot \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} — 2} = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2 — 8\sqrt{x}}{(\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} — 2} = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4 — 8\sqrt{x}}{(\sqrt{x} — 2)^2} \cdot \sqrt{x} =\)
\(= \frac{x — 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} — 2)^2} \cdot \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} — 2)^2}{(\sqrt{x} — 2)^2} = \sqrt{x}; \)

4)
\( \frac{a — 49}{\sqrt{a} + 2} \cdot \frac{1}{a + 7\sqrt{a}} — \frac{\sqrt{a} + 7}{a — 2\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} — 7)(\sqrt{a} + 7)}{(\sqrt{a} + 2) \cdot (\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} + 7))} — \frac{\sqrt{a} + 7}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} — 2)} = \)
\( = \frac{\sqrt{a} — 7}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} + 2)} — \frac{\sqrt{a} + 7}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} — 2)} = \frac{(\sqrt{a} — 7)(\sqrt{a} — 2) — (\sqrt{a} + 7)(\sqrt{a} + 2)}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} + 2) \cdot (\sqrt{a} — 2)}\)
\(= \frac{a — 2\sqrt{a} — 7\sqrt{a} + 14 — a — 2\sqrt{a} — 7\sqrt{a} — 14}{\sqrt{a} \cdot (a — 4)} = \frac{-18\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a — 4)} = \frac{18}{4 — a}; \)

1)
\(\frac{\sqrt{a} — 5}{\sqrt{a — 1}} — \frac{\sqrt{a} — 4}{\sqrt{a}}\)

Приводим дроби к общему знаменателю:
\(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} — 5) — (\sqrt{a} — 4)(\sqrt{a — 1})}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a — 1}}\)

Раскрываем скобки в числителе:
\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} — 5\sqrt{a} — (\sqrt{a} \cdot \sqrt{a — 1} — 4\sqrt{a — 1}) = a — 5\sqrt{a} — a + \sqrt{a} + 4\sqrt{a} — 4\)

Упрощаем числитель:
\(-4\)

Итог:
\(\frac{-4}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a — 1}} = \frac{4}{\sqrt{a} — a}\)

2)
\(\frac{\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{ab}} — \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{ab} + b}\)

Приводим дроби к общему знаменателю:
\(\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a + \sqrt{b}}} — \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a + \sqrt{b}}}\)

Объединяем дроби:
\(\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} + 1) — \sqrt{a}(\sqrt{b} — 1)}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{a + \sqrt{b}}}\)

Раскрываем скобки в числителе:
\(\sqrt{ab} + \sqrt{b} — \sqrt{ab} + \sqrt{a}\)

Упрощаем числитель:
\(\sqrt{b} + \sqrt{a}\)

Итог:
\(\frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{a + \sqrt{b}}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}\)

3)
\(\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} — 2} — \frac{8\sqrt{x}}{x — 4} \right) \cdot \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} — 2}\)

Приводим дроби к общему знаменателю:
\(\frac{(\sqrt{x} + 2)^2 — 8\sqrt{x}}{(\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} — 2}\)

Раскрываем скобки в числителе:
\(\frac{x + 4\sqrt{x} + 4 — 8\sqrt{x}}{(\sqrt{x} — 2)^2} \cdot \sqrt{x}\)

Упрощаем числитель:
\(\frac{x — 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} — 2)^2} \cdot \sqrt{x}\)

Сокращаем дробь:
\(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} — 2)^2}{(\sqrt{x} — 2)^2} = \sqrt{x}\)

Итог:
\(\sqrt{x}\)

4)
\(\frac{a — 49}{\sqrt{a} + 2} \cdot \frac{1}{a + 7\sqrt{a}} — \frac{\sqrt{a} + 7}{a — 2\sqrt{a}}\)

Раскрываем скобки:
\(\frac{(\sqrt{a} — 7)(\sqrt{a} + 7)}{(\sqrt{a} + 2) \cdot \sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} + 7)} — \frac{\sqrt{a} + 7}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} — 2)}\)

Приводим дроби к общему знаменателю:
\(\frac{\sqrt{a} — 7}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} + 2)} — \frac{\sqrt{a} + 7}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} — 2)}\)

Объединяем дроби:
\(\frac{(\sqrt{a} — 7)(\sqrt{a} — 2) — (\sqrt{a} + 7)(\sqrt{a} + 2)}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} + 2) \cdot (\sqrt{a} — 2)}\)

Раскрываем скобки в числителе:
\(a — 2\sqrt{a} — 7\sqrt{a} + 14 — a — 2\sqrt{a} — 7\sqrt{a} — 14\)

Упрощаем числитель:
\(-18\sqrt{a}\)

Итог:
\(\frac{-18\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a — 4)} = \frac{18}{4 — a}\)