ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 260 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( 5^{3.6} \cdot 5^{-1.2} \cdot 5^{1.6} = 5^{3.6} \cdot 5^{0.4} = 5^{4} = 625 \);

2) \( (3^{-0.8})^7 : 3^{-2.6} = 3^{-5.6} \cdot 3^{2.6} = 3^{-3} = \frac{1}{27} \);

3) \( \left( 7^{\frac{4}{11}} \right)^{\frac{11}{20}} \cdot 49^{1.1} = 7^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2.1} = 7^{2.2} = 49 \);

4) \( 81^{-2.25} \cdot 9^{3.5} \cdot 27^{\frac{2}{3}} = 3^{-2.25 \cdot 4} \cdot 3^{2 \cdot 3.5} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{-9} \cdot 3^{7} \cdot 3^{2} = 1 \);

5) \( \frac{7^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{\left( 35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}} \right)^{-1.5}} = \frac{7^{0.5} \cdot 5^{0.5}}{35^{0.5} \cdot 3^{2}} = \frac{35^{0.5}}{35^{-0.5} \cdot 9} = \frac{35}{9} \);

6) \( \frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{\left( 5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}} \right)^{-1}} \cdot \frac{150^{-\frac{5}{4}}}{\left( 6^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{2}{3}}} = \frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{150^{\frac{5}{4}}} \cdot \frac{1}{6^{-\frac{1}{6}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}} = 7.2 \).

1) \( 5^{3.6} \cdot 5^{-1.2} \cdot 5^{1.6} \)

Сначала используем свойство степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Объединяем степени:

\(
5^{3.6} \cdot 5^{-1.2} \cdot 5^{1.6} = 5^{(3.6 — 1.2 + 1.6)} = 5^{4}.
\)

Теперь вычисляем значение степени:

\(
5^4 = 625.
\)

Ответ: \( 625 \).

2) \( (3^{-0.8})^7 : 3^{-2.6} \)

Сначала используем свойство степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Преобразуем первую часть:

\(
(3^{-0.8})^7 = 3^{-0.8 \cdot 7} = 3^{-5.6}.
\)

Теперь применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( a^m : a^n = a^{m-n} \):

\(
3^{-5.6} : 3^{-2.6} = 3^{-5.6 + 2.6} = 3^{-3}.
\)

Вычисляем значение степени:

\(
3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}.
\)

Ответ: \( \frac{1}{27} \).

3) \( \left(7^{\frac{4}{11}}\right)^{\frac{11}{20}} \cdot 49^{1.1} \)

Сначала преобразуем первую часть, используя свойство степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\(
\left(7^{\frac{4}{11}}\right)^{\frac{11}{20}} = 7^{\frac{4}{11} \cdot \frac{11}{20}} = 7^{\frac{4}{20}} = 7^{\frac{1}{5}}.
\)

Теперь преобразуем вторую часть: \( 49 = 7^2 \), поэтому:

\(
49^{1.1} = (7^2)^{1.1} = 7^{2 \cdot 1.1} = 7^{2.2}.
\)

Умножаем степени с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\(
7^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2.2} = 7^{\frac{1}{5} + 2.2} = 7^{2.2}.
\)

Вычисляем значение:

\(
7^{2.2} = 49.
\)

Ответ: \( 49 \).

4) \( 81^{-2.25} \cdot 9^{3.5} \cdot 27^{\frac{2}{3}} \)

Сначала преобразуем основания через степень числа \( 3 \):

\(
81 = 3^4, \quad 9 = 3^2, \quad 27 = 3^3.
\)

Теперь заменяем их в выражении:

\(
81^{-2.25} = (3^4)^{-2.25} = 3^{-2.25 \cdot 4} = 3^{-9},
\)
\(
9^{3.5} = (3^2)^{3.5} = 3^{2 \cdot 3.5} = 3^7,
\)
\(
27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2.
\)

Теперь объединяем степени с одинаковым основанием:

\(
3^{-9} \cdot 3^7 \cdot 3^2 = 3^{-9 + 7 + 2} = 3^0.
\)

Любое число в степени \( 0 \) равно \( 1 \):

\(
3^0 = 1.
\)

Ответ: \( 1 \).

5) \( \frac{7^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{\left(35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}\right)^{-1.5}} \)

Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство степеней: \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \):

\(
35^{\frac{1}{3}} = (7 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}},
\)
\(
\left(35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}\right)^{-1.5} = \left(7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}\right)^{-1.5}.
\)

Теперь умножаем степени:

\(
\left(7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}\right)^{-1.5} = 7^{-\frac{1}{3} \cdot 1.5} \cdot 5^{-\frac{1}{3} \cdot 1.5} \cdot 3^{\frac{4}{3} \cdot 1.5}.
\)

Выполняем умножение:

\(
7^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{2}.
\)

Теперь объединяем числитель и знаменатель:

\(
\frac{7^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{7^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{2}} = 7^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \cdot 3^{-2}.
\)

Выполняем сложение степеней:

\(
-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6}.
\)

Получаем:

\(
7^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{1}{6}} \cdot 3^{-2}.
\)

Объединяем \( 7^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{1}{6}} = (7 \cdot 5)^{\frac{1}{6}} = 35^{\frac{1}{6}} \), и итоговое выражение:

\(
\frac{35^{\frac{1}{6}}}{3^2} = \frac{35}{9}
\)

Ответ: \(\frac{35}{9}\).

6) Рассчитаем выражение:

\(
\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{\left(5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}\right)^{-1}} \cdot \frac{150^{-\frac{5}{4}}}{\left(6^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}}}.
\)

1. Упростим числитель первой дроби:
\(
25^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{8}{3}}, \quad 216^{\frac{1}{9}} = 6^{\frac{1}{3}}.
\)

2. Упростим знаменатель первой дроби:
\(
\left(5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}\right)^{-1} = 5^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{-\frac{2}{3}}, \quad 36^{-\frac{2}{3}} = 6^{-\frac{4}{3}}.
\)

Первая дробь:
\(
\frac{5^{\frac{8}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{-\frac{4}{3}}} = 5^{\frac{7}{3}} \cdot 6^{\frac{5}{3}}.
\)

3. Упростим знаменатель второй дроби:
\(
\left(6^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}} = 6^{-\frac{1}{6}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}.
\)

4. Упростим числитель второй дроби:
\(
150^{-\frac{5}{4}} = 2^{-\frac{5}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-\frac{5}{2}}.
\)

Вторая дробь:
\(
\frac{1}{150^{\frac{5}{4}}} \cdot \frac{1}{6^{-\frac{1}{6}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}} = \frac{6^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{5}{4}} \cdot 3^{\frac{5}{4}} \cdot 5^{\frac{5}{2}}}.
\)

5. Объединяем обе дроби:
\(
\left(5^{\frac{7}{3}} \cdot 6^{\frac{5}{3}}\right) \cdot \frac{6^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{5}{4}} \cdot 3^{\frac{5}{4}} \cdot 5^{\frac{5}{2}}}.
\)

Для \( 5 \):
\(
5^{\frac{7}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} : 5^{\frac{5}{2}} = 5^{\frac{8}{3} — \frac{15}{6}} = 5^{\frac{1}{6}}.
\)

Для \( 6 \):
\(
6^{\frac{5}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 6^{\frac{10}{6} + \frac{1}{6}} = 6^{\frac{11}{6}}.
\)

Итоговое выражение:
\(
\frac{5^{\frac{1}{6}} \cdot 6^{\frac{11}{6}}}{2^{\frac{5}{4}} \cdot 3^{\frac{5}{4}}}.
\)

Численное значение:
\(
5^{\frac{1}{6}} \approx 1.43, \quad 6^{\frac{11}{6}} \approx 10.82, \quad 2^{\frac{5}{4}} \approx 2.38, \quad 3^{\frac{5}{4}} \approx 3.74.
\)

Рассчитаем:
\(
\frac{1.43 \cdot 10.82}{2.38 \cdot 3.74} \approx \frac{15.46}{8.89} \approx 7.2.
\)

Ответ: \( 7.2 \).