ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 264 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите произведение корней уравнения

\(
(x^2 — 7x + 10) \cdot |3 — x| \cdot \sqrt{4 — x} = 0
\)

\(
(x^2 — 7x + 10) \cdot |3 — x| \cdot \sqrt{4 — x} = 0;
\)

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9, \text{ тогда: } x_1 = \frac{7 — 3}{2}, \, x_2 = \frac{7 + 3}{2} \Rightarrow x_1 = 2,
\)
\(
\, x_2 = 5;
\)

\(
(x — 2) \cdot |x — 3| \cdot \sqrt{4 — x} \cdot (x — 5) = 0;
\)

\(
x_1 = 2, \, x_2 = 3, \, x_3 = 4, \, x_4 = 5;
\)

1) Область определения:
\(
4 — x \geq 0; \, x — 4 \leq 0; \, x \leq 4;
\)

2) Произведение корней:
\(
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24;
\)

Ответ: 24.

найти произведение корней.

\(
(x^2 — 7x + 10) \cdot |3 — x| \cdot \sqrt{4 — x} = 0;
\)

решим квадратное уравнение \(x^2 — 7x + 10 = 0\). для этого используем дискриминант:

\(
d = b^2 — 4 \cdot a \cdot c = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9.
\)

найдем корни:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{d}}{2 \cdot a} = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 3}{2} = 2,
\)

\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{d}}{2 \cdot a} = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5.
\)

теперь раскладываем уравнение на множители:

\(
(x — 2) \cdot |x — 3| \cdot \sqrt{4 — x} \cdot (x — 5) = 0.
\)

корнями являются:

\(
x_1 = 2, \, x_2 = 3, \, x_3 = 4, \, x_4 = 5.
\)

1) область определения.
для выражений \( |x — 3| \) и \( \sqrt{4 — x} \), необходимо учитывать область определения:

\(
4 — x \geq 0, \, x — 4 \leq 0, \, x \leq 4.
\)

итоговая область определения: \( x \leq 4. \)

2) произведение корней.
найдем произведение корней, которые лежат в области определения:

\(
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24.
\)

ответ: \(24.\)