ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 265 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
(x-4)^{\frac{1}{4}} + 2\sqrt{4-x} = x^2 — 5x + 4.
\)

Решить уравнение:
\(
\sqrt{(x-4)} + 2\sqrt{(4-x)} = x^2 — 5x + 4;
\)
\(
x — 4 \geq 0, \quad 4 — x \geq 0, \quad 4 \leq x \leq 4;
\)
\(
x = 4, \quad 0 + 2 \cdot 0 = 16 — 20 + 4;
\)
Ответ: \( x = 4 \).

Уравнение:
\(
\sqrt{(x-4)} + 2\sqrt{(4-x)} = x^2 — 5x + 4
\)

Ограничения:
\(
x — 4 \geq 0, \quad 4 — x \geq 0
\)

Из условий видно, что \(x — 4 \geq 0\) означает \(x \geq 4\), а \(4 — x \geq 0\) означает \(x \leq 4\). Таким образом, одновременно выполняются оба условия только при \(x = 4\). Это сильно упрощает задачу, так как проверять нужно только одно значение.

Подставим \(x = 4\) в уравнение:
\(
\sqrt{(x-4)} + 2\sqrt{(4-x)} = x^2 — 5x + 4
\)

В левой части уравнения:
\(
\sqrt{(4-4)} + 2\sqrt{(4-4)} = 0 + 2 \cdot 0 = 0
\)

В правой части уравнения:
\(
x^2 — 5x + 4 = (4^2) — (5 \cdot 4) + 4 = 16 — 20 + 4 = 0
\)

Левая часть равна правой:
\(
0 = 0
\)

Следовательно, \(x = 4\) является решением уравнения.

Ответ:
\(
x = 4
\)