ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 274 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Построить графики следующих функций, используя их, указать промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания:

1. \(y = 2 — x^2\)
2. \(y = (x + 4)^2\)
3. \(y = 8 — 2x — x^2\)
4. \(y = x^2 — 2x + 3\)
5. \(y = \frac{4}{x + 1}\)
6. \(y = \frac{4}{x — 2}\)
7. \(y = \frac{2x + 14}{x + 3}\)
8. \(y = -\sqrt{x}\)
9. \(y = \sqrt{-x}\)
10. \(y = x^{-2} + 2\)
11. \(y = x^{\frac{1}{3}} — 2\)
12. \(y = (x + 1)^{\frac{1}{4}}\)

Для каждого графика определить:
1. Промежутки знакопостоянства функции.
2. Промежутки возрастания функции.
3. Промежутки убывания функции.

Построить график функции:
1) \(y = 2 — x^2\);

График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(|x| < \sqrt{2}\);
\(y \leq 0\) при \(|x| \geq \sqrt{2}\);
функция возрастает на \((-\infty; 0]\);
функция убывает на \([0; +\infty)\).

2) \(y = (x+4)^2\);
График функции:

Ответ: \(y \geq 0\) при \(x \neq -4\);
возрастает на \([-4; +\infty)\);
убывает на \((-\infty; -4]\).

3) \(y = 8 — 2x — x^2\);
\(x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\);
\(y_0 = 8 + 2 — 1 = 10 — 1 = 9\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(-4 < x < 2\);
\(y \leq 0\) при \(x \leq -4\), \(x \geq 2\);
функция возрастает на \((-\infty; -1]\);
функция убывает на \([-1; +\infty)\).

4) \(y = x^2 — 2x + 3\);
\(x_0 = \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\);
\(y_0 = 1 — 2 + 3 = 2\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x \in \mathbb{R}\);
функция возрастает на \([1; +\infty)\);
функция убывает на \((-\infty; 1]\).

5) \(y = \frac{4}{x} + 1\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x < -4\) и \(x > 0\);
\(y < 0\) при \(-4 < x < 0\);
функция убывает на \((-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

6) \(y = \frac{4}{x — 2}\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x > 2\);
\(y < 0\) при \(x < 2\);
функция убывает на \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

7) \(y = \frac{2x + 14}{x + 3} = 2 + \frac{8}{x + 3}\);
\(x_0 = -3\), \(y_0 = 2\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x < -7\) и \(x > -3\);
\(y < 0\) при \(-7 < x < -3\);
функция убывает на \((-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)\).

8) \(y = -\sqrt{x}\);
График функции:

Ответ:
\(y < 0\) при \(x > 0\);
функция убывает на \([0; +\infty)\).

9) \(y = \sqrt{-x}\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x < 0\);
функция убывает на \((-\infty; 0]\).

10) \(y = \frac{1}{x — 2} + 2\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x < 0\) и \(x > 0\);
функция возрастает на \((-\infty; 0]\);
функция убывает на \([0; +\infty)\).

11) \(y = \sqrt[3]{x} — 2\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x > 8\);
\(y < 0\) при \(x < 8\);
функция возрастает на \(\mathbb{R}\).

12) \(y = \sqrt{x + 1}\);
График функции:

Ответ:
\(y > 0\) при \(x \geq 0\);
функция возрастает на \([0; +\infty)\).

1) \(y = 2 — x^2\)

График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный). Вершина параболы находится в точке \((0; 2)\).

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство \(2 — x^2 > 0\):
\[x^2 < 2 — |x| < \sqrt{2}\].
Таким образом, \(y > 0\) при \(|x| < \sqrt{2}\).
— Для нахождения области, где \(y \leq 0\), решим неравенство \(2 — x^2 \leq 0\):
\[x^2 \geq 2 — |x| \geq \sqrt{2}\].
Таким образом, \(y \leq 0\) при \(|x| \geq \sqrt{2}\).
— Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 0]\), так как значение \(y\) увеличивается при движении от \(-\infty\) к \(0\).
— Функция убывает на промежутке \([0; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при движении от \(0\) к \(+\infty\).

2) \(y = (x+4)^2\)

График функции представляет собой параболу с вершиной в точке \((-4; 0)\), ветви направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положительный).

Рассмотрим свойства функции:
— Значение функции всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа больше или равен нулю: \(y \geq 0\).
— Функция возрастает на промежутке \([-4; +\infty)\), так как значение \(y\) увеличивается при движении от \(-4\) к \(+\infty\).
— Функция убывает на промежутке \((-\infty; -4]\), так как значение \(y\) уменьшается при движении от \(-\infty\) к \(-4\).

3) \(y = 8 — 2x — x^2\)

График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный). Вершина параболы находится в точке \((-1; 9)\)

Для нахождения вершины используем формулу \(x_0 = \frac{-b}{2a}\):
\(
x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = -1.
\)
Подставляем \(x_0 = -1\) в уравнение функции:
\(
y_0 = 8 — 2(-1) — (-1)^2 = 8 + 2 — 1 = 9.
\)

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство \(8 — 2x — x^2 > 0\). Корни этого квадратного уравнения:
\(
x^2 + 2x — 8 = 0 — (x+4)(x-2) = 0 — x = -4, \, x = 2.
\)
Таким образом, \(y > 0\) при \(-4 < x < 2\).
— Для нахождения области, где \(y \leq 0\), решим неравенство \(8 — 2x — x^2 \leq 0\):
\(
x \leq -4 \, \text{или} \, x \geq 2.
\)
Таким образом, \(y \leq 0\) при \(x \leq -4\) и \(x \geq 2\).
— Функция возрастает на промежутке \((-\infty; -1]\), так как значение \(y\) увеличивается при движении от \(-\infty\) к \(-1\).
— Функция убывает на промежутке \([-1; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при движении от \(-1\) к \(+\infty\).

4) \(y = x^2 — 2x + 3\)

График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положительный). Вершина параболы находится в точке \((1; 2)\).

Для нахождения вершины используем формулу \(x_0 = \frac{-b}{2a}\):
\(
x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1.
\)
Подставляем \(x_0 = 1\) в уравнение функции:
\(
y_0 = (1)^2 — 2(1) + 3 = 1 — 2 + 3 = 2.
\)

Рассмотрим свойства функции:
— Значение функции всегда положительно, так как парабола не пересекает ось \(Ox\): \(y > 0\) при \(x \in \mathbb{R}\).
— Функция возрастает на промежутке \([1; +\infty)\), так как значение \(y\) увеличивается при движении от \(1\) к \(+\infty\).
— Функция убывает на промежутке \((-\infty; 1]\), так как значение \(y\) уменьшается при движении от \(-\infty\) к \(1\).

5) \(y = \frac{4}{x} + 1\)

График функции представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты \(x = 0\) и \(y = 1\).

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство:
\(
\frac{4}{x} + 1 > 0 — \frac{4}{x} > -1 — x < -4 \, \text{или} \, x > 0.
\)
Таким образом, \(y > 0\) при \(x < -4\) и \(x > 0\).
— Для нахождения области, где \(y < 0\), решим неравенство:
\(
\frac{4}{x} + 1 < 0 — \frac{4}{x} < -1 — -4 < x < 0.
\)
Таким образом, \(y < 0\) при \(-4 < x < 0\).
— Функция убывает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при движении вдоль каждого из этих промежутков.

6) \(y = \frac{4}{x — 2}\)

График функции представляет собой гиперболу, которая имеет вертикальную асимптоту \(x = 2\) и горизонтальную асимптоту \(y = 0\).

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство:
\(
\frac{4}{x — 2} > 0 — x — 2 > 0 — x > 2.
\)
Таким образом, \(y > 0\) при \(x > 2\).
— Для нахождения области, где \(y < 0\), решим неравенство:
\(
\frac{4}{x — 2} < 0 — x — 2 < 0 — x < 2.
\)
Таким образом, \(y < 0\) при \(x < 2\).
— Функция убывает на промежутках \((-\infty; 2)\) и \((2; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при движении вдоль каждого из этих промежутков.

7) \(y = \frac{2x + 14}{x + 3} = 2 + \frac{8}{x + 3}\)

График функции представляет собой гиперболу, которая имеет вертикальную асимптоту \(x = -3\) и горизонтальную асимптоту \(y = 2\).

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство:
\(
2 + \frac{8}{x + 3} > 0 — \frac{8}{x + 3} > -2 — x + 3 < -4 \, \text{или} \, x + 3 > 0.
\)
Таким образом, \(y > 0\) при \(x < -7\) и \(x > -3\).
— Для нахождения области, где \(y < 0\), решим неравенство:
\(
2 + \frac{8}{x + 3} < 0 — \frac{8}{x + 3} < -2 — -7 < x < -3.
\)
Таким образом, \(y < 0\) при \(-7 < x < -3\).
— Функция убывает на промежутках \((-\infty; -3)\) и \((-3; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при движении вдоль каждого из этих промежутков.

8) \(y = -\sqrt{x}\)

График функции представляет собой ветвь параболы, расположенную ниже оси \(Ox\), так как значение функции отрицательно для всех \(x > 0\).

Рассмотрим свойства функции:
— Значение функции всегда отрицательно, так как корень числа положителен, а перед ним стоит знак минус: \(y < 0\) при \(x > 0\).
— Функция убывает на промежутке \([0; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при увеличении \(x\).

9) \(y = \sqrt{-x}\)

График функции представляет собой ветвь параболы, расположенную выше оси \(Ox\), так как значение функции положительно для всех \(x < 0\).

Рассмотрим свойства функции:
— Значение функции всегда положительно, так как корень числа положителен: \(y > 0\) при \(x < 0\).
— Функция убывает на промежутке \((-\infty; 0]\), так как значение \(y\) уменьшается при увеличении \(x\) (движение от отрицательных значений к нулю).

10) \(y = \frac{1}{x — 2} + 2\)

График функции представляет собой гиперболу, которая имеет вертикальную асимптоту \(x = 2\) и горизонтальную асимптоту \(y = 2\).

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство:
\(
\frac{1}{x — 2} + 2 > 0 — \frac{1}{x — 2} > -2 — x — 2 < -\frac{1}{2} \, \text{или} \, x — 2 > 0.
\)
Таким образом, \(y > 0\) при \(x < 0\) и \(x > 0\).
— Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 0]\), так как значение \(y\) увеличивается при движении от \(-\infty\) к \(0\).
— Функция убывает на промежутке \([0; +\infty)\), так как значение \(y\) уменьшается при движении от \(0\) к \(+\infty\).

11) \(y = \sqrt[3]{x} — 2\)

График функции представляет собой кубическую кривую, смещённую вниз на 2 единицы.

Рассмотрим свойства функции:
— Для нахождения области, где \(y > 0\), решим неравенство:
\(
\sqrt[3]{x} — 2 > 0 — \sqrt[3]{x} > 2 — x > 8.
\)
Таким образом, \(y > 0\) при \(x > 8\).
— Для нахождения области, где \(y < 0\), решим неравенство:
\(
\sqrt[3]{x} — 2 < 0 —  \sqrt[3]{x} < 2 — x < 8.
\)
Таким образом, \(y < 0\) при \(x < 8\).
— Функция возрастает на всей области определения \(\mathbb{R}\), так как кубический корень является возрастающей функцией.

12) \(y = \sqrt{x + 1}\)

График функции представляет собой ветвь параболы, расположенную выше оси \(Ox\), начиная с точки \((-1; 0)\).

Рассмотрим свойства функции:
— Значение функции положительно при \(x \geq 0\), так как корень числа положителен: \(y > 0\) при \(x \geq 0\).
— Функция возрастает на промежутке \([0; +\infty)\), так как значение \(y\) увеличивается при увеличении \(x\).