ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 276 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти область определения и построить график следующих функций:

1. \(f(x) = \frac{x^2 — 8x + 16}{4 — x}\)
2. \(f(x) = \frac{4x — 16}{x^2 — 4x}\)
3. \(f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 — 4}\)
4. \(f(x) = \frac{x^3 — 5x^2 + 6x}{x — 3}\)

Построить график функции:
1) \(f(x) = \frac{x^2 — 8x + 16}{4 — x}\);
\(f(x) = \frac{(x — 4)^2}{4 — x} = 4 — x;\)

Область определения:
\(4 — x \neq 0, \, x \neq 4;\)

График функции:

Ответ:
\(D(x) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty).\)

2) \(f(x) = \frac{4x — 16}{x^2 — 4x}\);
\(f(x) = \frac{4(x-4)}{x(x-4)} = \frac{4}{x}\);

Область определения: \(x^2 \neq 4x, \, x \neq 0, \, x \neq 4;\)

График функции:

Ответ: \(D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty).\)

3) \(f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 — 4} = 1;\)

Область определения: \(x^2 — 4 \neq 0, \, x \neq \pm 2;\)

График функции:

Ответ: \(D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty).\)

4) \(f(x) = \frac{x^3 — 5x^2 + 6x}{x — 3};\)

\(f(x) = \frac{x \cdot (x — 3) \cdot (x — 2)}{x — 3};\)

\(f(x) = x(x — 2) = x^2 — 2x;\)

Область определения: \(x — 3 \neq 0, \, x \neq 3;\)

График функции:

Ответ: \(D(x) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty).\)

1) \(f(x) = \frac{x^2 — 8x + 16}{4 — x}\)

Преобразуем числитель:
\((x^2 — 8x + 16) = (x — 4)^2\), тогда:
\(f(x) = \frac{(x — 4)^2}{4 — x}\)

Заметим, что \((4 — x) = -(x — 4)\), следовательно:
\(f(x) = \frac{(x — 4)^2}{-(x — 4)} = -(x — 4) = 4 — x\)

Область определения:
\(4 — x \neq 0\), то есть \(x \neq 4\)

График функции:
Графиком данной функции является прямая \(y = 4 — x\), но в точке \(x = 4\) существует разрыв.

Ответ:
\(D(x) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)\)

2) \(f(x) = \frac{4x — 16}{x^2 — 4x}\)

Преобразуем числитель:
\(4x — 16 = 4(x — 4)\), тогда:
\(f(x) = \frac{4(x — 4)}{x^2 — 4x}\)

Разложим знаменатель:
\(x^2 — 4x = x(x — 4)\), тогда:
\(f(x) = \frac{4(x — 4)}{x(x — 4)}\)

Сократим общий множитель \((x — 4)\), получаем:
\(f(x) = \frac{4}{x}\)

Область определения:
\(x^2 — 4x \neq 0\), то есть \(x(x — 4) \neq 0\). Отсюда:
\(x \neq 0\), \(x \neq 4\)

График функции:
Графиком данной функции является гипербола \(y = \frac{4}{x}\), но в точках \(x = 0\) и \(x = 4\) существуют разрывы.

Ответ:
\(D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)\)

3) \(f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 — 4}\)

Сократим общий множитель:
\(f(x) = 1\)

Область определения:
\(x^2 — 4 \neq 0\), то есть \(x \neq \pm 2\)

График функции:
Графиком данной функции является горизонтальная прямая \(y = 1\), но в точках \(x = -2\) и \(x = 2\) существуют разрывы.

Ответ:
\(D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\)

4) \(f(x) = \frac{x^3 — 5x^2 + 6x}{x — 3}\)

Разложим числитель:
\(x^3 — 5x^2 + 6x = x(x^2 — 5x + 6) = x(x — 3)(x — 2)\), тогда:
\(f(x) = \frac{x \cdot (x — 3) \cdot (x — 2)}{x — 3}\)

Сократим общий множитель \((x — 3)\), получаем:
\(f(x) = x(x — 2) = x^2 — 2x\)

Область определения:
\(x — 3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\)

График функции:
Графиком данной функции является парабола \(y = x^2 — 2x\), но в точке \(x = 3\) существует разрыв.

Ответ:
\(D(x) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)