ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 278 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Определите область определения для каждой из этих функций.

1) \( f(x) = 6x^3 — 7x^5 \)
2) \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 1} \)
3) \( f(x) = \sqrt{6 — x^2} \)
4) \( f(x) = x^2 + x — 3 \)
5) \( f(x) = \frac{1}{x^3 — 2x} \)
6) \( f(x) = (x + 5)(x — 1) — 4x \)
7) \( f(x) = (x — 6)^2 — (x + 6)^2 \)
8) \( f(x) = \frac{x^3 — 2x^2}{x^3 — 4x} \)

Исследовать на четность:

1) \( f(x) = 6x^3 — 7x^5 \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = 6(-x)^3 — 7(-x)^5 = -6x^3 + 7x^5 = -f(x) \);
Ответ: нечетная.

2) \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 1} \)
Область определения:
\( x^2 — 1 \neq 0 \), \( x \neq \pm 1 \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 1} = f(x) \);
Ответ: четная.

3) \( f(x) = \sqrt{6 — x^2} \)
Область определения:
\( 6 — x^2 \geq 0 \), \( |x| \leq \sqrt{6} \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = \sqrt{6 — (-x)^2} = \sqrt{6 — x^2} = f(x) \);
Ответ: четная.

4) \( f(x) = x^2 + x — 3 \);
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = (-x)^2 + (-x) — 3 = x^2 — x — 3 \);
Ответ: общего вида.

5) \( f(x) = \frac{1}{x^3 — 2x} \);
Область определения:
\( x^3 — 2x = 0 \), \( x(x^2 — 2) = 0 \);
\( x = 0 \), \( x^2 — 2 = 0 \), \( x = \pm \sqrt{2} \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 — 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 + 2x} = -f(x) \);
Ответ: нечетная.

6) \( f(x) = (x + 5)(x — 1) — 4x \);
Раскрытие скобок:
\( f(x) = x^2 + 4x — 5 — 4x = x^2 — 5 \);
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = (-x)^2 — 5 = x^2 — 5 = f(x) \);
Ответ: четная.

7) \( f(x) = (x — 6)^2 — (x + 6)^2 \);
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = ((-x) — 6)^2 — ((-x) + 6)^2 \);
\( f(-x) = (x + 6)^2 — (x — 6)^2 = -f(x) \);
Ответ: нечетная.

8) \( f(x) = \frac{x^3 — 2x^2}{x^3 — 4x} \);
Область определения:
\( x^3 — 4x = 0 \), \( x(x^2 — 4) = 0 \);
\( x = 0 \), \( x^2 — 4 = 0 \), \( x = \pm 2 \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = \frac{(-x)^3 — 2(-x)^2}{(-x)^3 — 4(-x)} = \frac{-x^3 — 2x^2}{-x^3 + 4x} = f(x) \);
Ответ: общего вида.

1) \( f(x) = 6x^3 — 7x^5 \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \).
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = 6(-x)^3 — 7(-x)^5 = -6x^3 + 7x^5. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) = -f(x). \)
Следовательно, функция нечетная.

2) \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 1} \)
Область определения:
\( x^2 — 1 \neq 0, \quad x \neq \pm 1. \)
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 1}. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) = f(x). \)
Следовательно, функция четная.

3) \( f(x) = \sqrt{6 — x^2} \)
Область определения:
\( 6 — x^2 \geq 0, \quad |x| \leq \sqrt{6}. \)
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = \sqrt{6 — (-x)^2} = \sqrt{6 — x^2}. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) = f(x). \)
Следовательно, функция четная.

4) \( f(x) = x^2 + x — 3 \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \).
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = (-x)^2 + (-x) — 3 = x^2 — x — 3. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) \neq f(x), \quad f(-x) \neq -f(x). \)
Следовательно, функция общего вида.

5) \( f(x) = \frac{1}{x^3 — 2x} \)
Область определения:
\( x^3 — 2x = 0, \quad x(x^2 — 2) = 0, \quad x = 0, \quad x^2 — 2 = 0, \quad x = \pm \sqrt{2}. \)
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 — 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 + 2x}. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) = -f(x). \)
Следовательно, функция нечетная.

6) \( f(x) = (x + 5)(x — 1) — 4x \).
Раскрытие скобок:
\( f(x) = x^2 + 4x — 5 — 4x = x^2 — 5. \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \).
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = (-x)^2 — 5 = x^2 — 5. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) = f(x). \)
Следовательно, функция четная.

7) \( f(x) = (x — 6)^2 — (x + 6)^2 \).
Область определения: \( x \in \mathbb{R}, D(x) = (-\infty; +\infty) \).
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = ((-x) — 6)^2 — ((-x) + 6)^2. \)
Раскрываем скобки:
\( f(-x) = (x + 6)^2 — (x — 6)^2. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) = -f(x). \)
Следовательно, функция нечетная.

8) \( f(x) = \frac{x^3 — 2x^2}{x^3 — 4x} \).
Область определения:
\( x^3 — 4x = 0, \quad x(x^2 — 4) = 0, \quad x = 0, \quad x^2 — 4 = 0, \quad x = \pm 2. \)
Исследуем на четность:
Рассчитаем \( f(-x) \):
\( f(-x) = \frac{(-x)^3 — 2(-x)^2}{(-x)^3 — 4(-x)}. \)
Упростим выражение:
\( f(-x) = \frac{-x^3 — 2x^2}{-x^3 + 4x}. \)
Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \):
\( f(-x) \neq f(x), \quad f(-x) \neq -f(x). \)
Следовательно, функция общего вида.