ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 294 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) для параболы \( y = ax^2 + bx + c \), если:

1. Вершина параболы находится в точке \( M(1, -1) \).
2. Парабола проходит через точку \( K(-2, 3) \).

Две точки параболы:
\( M(1; -1) \), \( K(-2; 3) \);

Значения параметров:
\( b \)
\( x_0 = 2, a = -1, b = -2a \);
\( y_0 = y(1) = a — 2a + c = -1 \);
\( c = a — 1, 3 = 4a — 2b + c \);
\( 3 = 4a + 4a + a — 1 \), \( 9a = 4 \);
\( a = \frac{4}{9}, b = -\frac{8}{9}, c = -\frac{5}{9} \).

Ответ:
\( a = \frac{4}{9}, b = -\frac{8}{9}, c = -\frac{5}{9} \).

Даны две точки параболы:
\( M(1; -1) \), \( K(-2; 3) \).

Необходимо найти параметры \( a \), \( b \) и \( c \) для уравнения параболы \( y = a(x)^2 + b(x) + c \).

Шаги решения:
1. Координаты вершины \( M(1; -1) \) дают условие для нахождения параметров:
\(
x_0 = 1, \quad a = -1, \quad b = -2a.
\)
Следовательно, \( b = -2(-1) = 2 \).

2. Подставляем координаты вершины в уравнение параболы:
\(
y_0 = y(1) = a(1)^2 + b(1) + c.
\)
Известно, что \( y_0 = -1 \), подставляем:
\(
-1 = a — 2a + c.
\)
Упрощаем:
\(
c = a — 1.
\)

3. Используем координаты точки \( K(-2; 3) \):
Подставляем их в уравнение параболы:
\(
3 = a(-2)^2 + b(-2) + c.
\)
Упрощаем:
\(
3 = 4a — 2b + c.
\)

4. Подставляем выражение для \( c = a — 1 \):
\(
3 = 4a — 2b + (a — 1).
\)
Упрощаем:
\(
3 = 4a — 2b + a — 1.
\)
Сводим подобные члены:
\(
3 = 5a — 2b — 1.
\)
Приводим к виду:
\(
4 = 5a — 2b.
\)

5. Подставляем значение \( b = -2a \):
\(
4 = 5a — 2(-2a).
\)
Упрощаем:
\(
4 = 5a + 4a.
\)
Получаем:
\(
9a = 4.
\)
Отсюда:
\(
a = \frac{4}{9}.
\)

6. Находим \( b \):
Используем \( b = -2a \):
\(
b = -2\left(\frac{4}{9}\right).
\)
Упрощаем:
\(
b = -\frac{8}{9}.
\)

7. Находим \( c \):
Используем \( c = a — 1 \):
\(
c = \frac{4}{9} — 1.
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
c = \frac{4}{9} — \frac{9}{9}.
\)
Упрощаем:
\(
c = -\frac{5}{9}.
\)

Ответ:
\(
a = \frac{4}{9}, \quad b = -\frac{8}{9}, \quad c = -\frac{5}{9}.
\)