Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 305 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите функцию, обратную данной:
1) \( y = 3x + 5 \);
2) \( y = \frac{4}{x — 1} \);
3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3} \);
4) \( y = x^2, \, x \in [2; +\infty) \).
Обратная функция:
1) \( y = 3x + 5 \);
\( 3x = y — 5, \, x = \frac{y — 5}{3} \);
Ответ: \( y = \frac{x — 5}{3} \).
2) \( y = \frac{4}{x — 1} \);
\( x — 1 = \frac{4}{y}, \, x = \frac{4 + y}{y} \);
Ответ: \( y = \frac{x + 4}{x} \).
3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3} \);
\( y \geq 2 + 0 = 2, \, y — 2 = \sqrt{x — 3}; \)
\( (y — 2)^2 = x — 3, \, x = (y — 2)^2 + 3; \)
\( y = x^2 — 4x + 4 + 3 = x^2 — 4x + 7; \)
Ответ: \( y = x^2 — 4x + 7, \, x \geq 2 \).
4) \( y = x^2, \, x \in [2; +\infty) \);
\( y \geq 4, \, |x| = \sqrt{y}, \, x = \sqrt{y}; \)
Ответ: \( y = \sqrt{x}, \, x \geq 4 \).
Обратная функция:
1) \( y = 3x + 5 \)
Выражаем \( x \) через \( y \):
\( 3x = y — 5 \), отсюда \( x = \frac{y — 5}{3} \).
Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = \frac{x — 5}{3} \).
2) \( y = \frac{4}{x — 1} \)
Выражаем \( x \) через \( y \):
\( x — 1 = \frac{4}{y} \), отсюда \( x = \frac{4 + y}{y} \).
Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = \frac{x + 4}{x} \).
3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3} \)
Определяем область значений \( y \):
Так как подкоренное выражение \( x — 3 \geq 0 \), то \( x \geq 3 \).
При этом \( y \geq 2 + 0 = 2 \).
Выражаем \( x \) через \( y \):
\( y — 2 = \sqrt{x — 3} \), возводим обе части в квадрат:
\( (y — 2)^2 = x — 3 \), отсюда \( x = (y — 2)^2 + 3 \).
Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = (x — 2)^2 + 3, \, x \geq 2 \).
4) \( y = x^2, \, x \in [2; +\infty) \)
Определяем область значений \( y \):
Так как \( x \geq 2 \), то \( y \geq 4 \).
Выражаем \( x \) через \( y \):
\( x = \sqrt{y} \), так как \( x \geq 0 \).
Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = \sqrt{x}, \, x \geq 4 \).