ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 305 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную данной:
1) \( y = 3x + 5 \);
2) \( y = \frac{4}{x — 1} \);
3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3} \);
4) \( y = x^2, \, x \in [2; +\infty) \).

Обратная функция:

1) \( y = 3x + 5 \);
\( 3x = y — 5, \, x = \frac{y — 5}{3} \);
Ответ: \( y = \frac{x — 5}{3} \).

2) \( y = \frac{4}{x — 1} \);
\( x — 1 = \frac{4}{y}, \, x = \frac{4 + y}{y} \);
Ответ: \( y = \frac{x + 4}{x} \).

3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3} \);
\( y \geq 2 + 0 = 2, \, y — 2 = \sqrt{x — 3}; \)
\( (y — 2)^2 = x — 3, \, x = (y — 2)^2 + 3; \)
\( y = x^2 — 4x + 4 + 3 = x^2 — 4x + 7; \)
Ответ: \( y = x^2 — 4x + 7, \, x \geq 2 \).

4) \( y = x^2, \, x \in [2; +\infty) \);
\( y \geq 4, \, |x| = \sqrt{y}, \, x = \sqrt{y}; \)
Ответ: \( y = \sqrt{x}, \, x \geq 4 \).

Обратная функция:

1) \( y = 3x + 5 \)
Выражаем \( x \) через \( y \):
\( 3x = y — 5 \), отсюда \( x = \frac{y — 5}{3} \).

Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = \frac{x — 5}{3} \).

2) \( y = \frac{4}{x — 1} \)
Выражаем \( x \) через \( y \):
\( x — 1 = \frac{4}{y} \), отсюда \( x = \frac{4 + y}{y} \).

Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = \frac{x + 4}{x} \).

3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3} \)
Определяем область значений \( y \):
Так как подкоренное выражение \( x — 3 \geq 0 \), то \( x \geq 3 \).
При этом \( y \geq 2 + 0 = 2 \).

Выражаем \( x \) через \( y \):
\( y — 2 = \sqrt{x — 3} \), возводим обе части в квадрат:
\( (y — 2)^2 = x — 3 \), отсюда \( x = (y — 2)^2 + 3 \).

Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = (x — 2)^2 + 3, \, x \geq 2 \).

4) \( y = x^2, \, x \in [2; +\infty) \)
Определяем область значений \( y \):
Так как \( x \geq 2 \), то \( y \geq 4 \).

Выражаем \( x \) через \( y \):
\( x = \sqrt{y} \), так как \( x \geq 0 \).

Теперь заменяем \( x \) на \( y \), а \( y \) на \( x \), получаем обратную функцию:
Ответ: \( y = \sqrt{x}, \, x \geq 4 \).