ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 307 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Найдите разность арифметической прогрессии \( (x_n) \), если:
\(
x_1 = 17, \quad x_9 = -7
\)

2. Найдите разность арифметической прогрессии \( (x_n) \), если:
\(
x_5 = -3, \quad x_{14} = 42
\)

Разность прогрессии:

1. \( x_1 = 17, \, x_9 = -7 \)

Формула для общего члена арифметической прогрессии:
\( x_9 = x_1 + 8d \)
Подставляем значения:
\( -7 = 17 + 8d \)
Решаем уравнение:
\( 8d = -24, \quad d = \frac{-24}{8} = -3 \)
Ответ: \( d = -3 \).

2. \( x_5 = -3, \, x_{14} = 42 \)

Формула для общего члена:
\( x_5 = x_1 + 4d, \quad x_{14} = x_1 + 13d \)
Выразим \( x_1 \) из первого уравнения:
\( x_1 = x_5 — 4d \)
Выразим \( x_1 \) из второго уравнения:
\( x_1 = x_{14} — 13d \)
Приравниваем:
\( x_5 — 4d = x_{14} — 13d \)
Решаем уравнение:
\( 9d = x_{14} — x_5 = 42 — (-3) = 45, \quad d = \frac{45}{9} = 5 \)
Ответ: \( d = 5 \).

Разность прогрессии:

1. \( x_1 = 17, \, x_9 = -7 \)

Формула для общего члена арифметической прогрессии:
\[
x_n = x_1 + (n — 1) \cdot d
\]
Для \( x_9 \), подставляем \( n = 9 \):
\[
x_9 = x_1 + (9 — 1) \cdot d
\]
Упрощаем:
\[
x_9 = x_1 + 8 \cdot d
\]
Подставляем значения \( x_1 = 17 \) и \( x_9 = -7 \):
\[
-7 = 17 + 8 \cdot d
\]
Решаем уравнение:
\[
8 \cdot d = -7 — 17
\]
\[
8 \cdot d = -24
\]
Делим обе стороны на \( 8 \):
\[
d = \frac{-24}{8} = -3
\]
Ответ: \( d = -3 \).

2. \( x_5 = -3, \, x_{14} = 42 \)

Формула для общего члена арифметической прогрессии:
\[
x_n = x_1 + (n — 1) \cdot d
\]
Для \( x_5 \), подставляем \( n = 5 \):
\[
x_5 = x_1 + (5 — 1) \cdot d
\]
Упрощаем:
\[
x_5 = x_1 + 4 \cdot d
\]
Для \( x_{14} \), подставляем \( n = 14 \):
\[
x_{14} = x_1 + (14 — 1) \cdot d
\]
Упрощаем:
\[
x_{14} = x_1 + 13 \cdot d
\]
Выразим \( x_1 \) из первого уравнения:
\[
x_1 = x_5 — 4 \cdot d
\]
Выразим \( x_1 \) из второго уравнения:
\[
x_1 = x_{14} — 13 \cdot d
\]
Приравниваем два выражения для \( x_1 \):
\[
x_5 — 4 \cdot d = x_{14} — 13 \cdot d
\]
Переносим все члены с \( d \) в одну сторону:
\[
13 \cdot d — 4 \cdot d = x_{14} — x_5
\]
Упрощаем:
\[
9 \cdot d = x_{14} — x_5
\]
Подставляем значения \( x_{14} = 42 \) и \( x_5 = -3 \):
\[
9 \cdot d = 42 — (-3)
\]
Упрощаем:
\[
9 \cdot d = 42 + 3
\]
\[
9 \cdot d = 45
\]
Делим обе стороны на \( 9 \):
\[
d = \frac{45}{9} = 5
\]
Ответ: \( d = 5 \).