ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 315 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии \( (a_n) \), если:
\(
a_1 = 6, \quad a_{14} = 45
\)

2. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии \( (a_n) \), если:
\(
a_6 = 34, \quad a_{14} = -54
\)

Сумма десяти членов:

1) \( a_1 = 6, \, a_{14} = 45 \)

\(
a_{14} = a_1 + 13d, \quad 6 + 13d = 45
\)

\(
13d = 45 — 6 = 39, \quad d = \frac{39}{13} = 3
\)

\(
a_{10} = a_1 + 9d = 6 + 9 \cdot 3 = 33
\)

\(
S = \frac{(a_1 + a_{10})}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 39 = 195
\)

Ответ: \( 195 \).

2) \( a_6 = 34, \, a_{14} = -54 \)

\(
a_6 = a_1 + 5d, \quad a_{14} = a_1 + 13d
\)

\(
a_{14} — a_6 = 8d, \quad 8d = -54 — 34
\)

\(
8d = -88, \quad d = \frac{-88}{8} = -11
\)

\(
a_1 = a_6 — 5d = 34 + 55 = 89
\)

\(
a_{10} = a_1 + 9d = 89 — 99 = -10
\)

\(
S = \frac{(a_1 + a_{10})}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 79 = 395
\)

Ответ: \( 395 \).

Сумма десяти членов:

1) Дано \( a_1 = 6 \), \( a_{14} = 45 \).

Используем формулу общего члена арифметической прогрессии:
\(
a_{14} = a_1 + 13d
\)
Подставляем значения:
\(
6 + 13d = 45
\)
Вычисляем \( d \):
\(
13d = 45 — 6 = 39, \quad d = \frac{39}{13} = 3
\)

Теперь найдем \( a_{10} \) по формуле:
\(
a_{10} = a_1 + 9d
\)
Подставляем значения:
\(
a_{10} = 6 + 9 \cdot 3 = 6 + 27 = 33
\)

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии находится по формуле:
\(
S = \frac{(a_1 + a_{10})}{2} \cdot 10
\)
Подставляем значения:
\(
S = \frac{(6 + 33)}{2} \cdot 10 = \frac{39}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 39 = 195
\)

Ответ: \( 195 \).

2) Дано \( a_6 = 34 \), \( a_{14} = -54 \).

Используем формулы общего члена арифметической прогрессии:
\(
a_6 = a_1 + 5d, \quad a_{14} = a_1 + 13d
\)

Вычтем первое уравнение из второго:
\(
a_{14} — a_6 = 8d
\)
Подставляем значения:
\(
-54 — 34 = 8d
\)
Вычисляем \( d \):
\(
8d = -88, \quad d = \frac{-88}{8} = -11
\)

Теперь найдем \( a_1 \) по формуле:
\(
a_1 = a_6 — 5d
\)
Подставляем значения:
\(
a_1 = 34 — 5 \cdot (-11) = 34 + 55 = 89
\)

Найдем \( a_{10} \) по формуле:
\(
a_{10} = a_1 + 9d
\)
Подставляем значения:
\(
a_{10} = 89 + 9 \cdot (-11) = 89 — 99 = -10
\)

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии находится по формуле:
\(
S = \frac{(a_1 + a_{10})}{2} \cdot 10
\)
Подставляем значения:
\(
S = \frac{(89 + (-10))}{2} \cdot 10 = \frac{79}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 79 = 395
\)

Ответ: \( 395 \).