ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 318 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 11, которые не больше 341.

Для заданной прогрессии:
\(a_1 = 11\), \(a_n \leq 341\), \(d = 11\);

1) Число членов:
\(a_n = a_1 + d(n-1)\);
\(341 = 11 + 11(n-1)\);
\(341 = 11 + 11n — 11\);
\(11n = 341\), \(n = 31\);

2) Сумма первых 31-го члена:
\(S = \frac{a_1 + a_{31}}{2} \cdot 31\)
\(S = \frac{11 + 341}{2} \cdot 31\)
\(S = \frac{352}{2} \cdot 31\)
\(S = 176 \cdot 31 = 5456\);

Ответ: \(5456\).

Для заданной арифметической прогрессии заданы:
\(a_1 = 11\), \(a_n \leq 341\), \(d = 11\).

Рассмотрим решение по шагам.

1) Найдём число членов прогрессии.
Общее выражение для \(n\)-го члена прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n-1)\).
Подставим условия задачи:
\(341 = 11 + 11(n-1)\).
Раскроем скобки:
\(341 = 11 + 11n — 11\).
Приведём подобные:
\(341 = 11n\).
Разделим обе части на \(11\):
\(n = 31\).

Таким образом, в прогрессии \(31\) член.

2) Найдём сумму первых \(31\) члена прогрессии.
Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\).
Подставим известные значения:
\(S_{31} = \frac{11 + 341}{2} \cdot 31\).
Сначала вычислим числитель в дроби:
\(11 + 341 = 352\).
Теперь вычислим дробь:
\(\frac{352}{2} = 176\).
Умножим результат на \(31\):
\(176 \cdot 31 = 5456\).

Ответ:
Сумма первых \(31\) члена прогрессии равна \(5456\).