ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 345 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражений:

1) \( v_3 \sin(a) — \cos(a) \)

2) \( 4 \sin(a) — 3 \cos(a) \)

Наибольшее значение:

\(
2) \sqrt{3} \sin(a) — \cos(a) = 2\sqrt{3} (\sin(a) — \cos(a)) =
\)
\(
= 2 (\cos(a) — \sin(a) — \sin(a) — \cos(a)) = 2\sin\left(a — \frac{\pi}{6}\right)
\)

Ответ: \( 2 \).

2) \( 4\sin(a) — 3\cos(a) = 5 \left( \sin(a) — \cos(a) \right) = 5 \left( \cos(a)\sin(a) — \sin(a)\cos(a) \right) =\)
\(= 5\sin\left(a — t\right) \)

Ответ: \( 5 \).

наибольшее значение:

1) Рассмотрим выражение \( \sqrt{3} \sin(a) — \cos(a) \). Представим его в виде:

\(
\sqrt{3} \sin(a) — \cos(a) = R \sin\left(a — \varphi\right),
\)

где \( R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \), а угол \( \varphi \) определяется из соотношений:

\(
\cos(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(\varphi) = -\frac{1}{2}.
\)

Это соответствует углу \( \varphi = -\frac{\pi}{6} \). Таким образом, выражение принимает вид:

\(
\sqrt{3} \sin(a) — \cos(a) = 2 \sin\left(a — \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2 \sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right).
\)

Наибольшее значение синуса равно \( 1 \), поэтому наибольшее значение выражения:

\(
2 \sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = 2.
\)

ответ: \( 2 \).

2) Рассмотрим выражение \( 4 \sin(a) — 3 \cos(a) \). Представим его в виде:

\(
4 \sin(a) — 3 \cos(a) = R \sin\left(a — \varphi\right),
\)

где \( R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \), а угол \( \varphi \) определяется из соотношений:

\(
\cos(\varphi) = \frac{4}{5}, \quad \sin(\varphi) = -\frac{3}{5}.
\)

Таким образом, выражение принимает вид:

\(
4 \sin(a) — 3 \cos(a) = 5 \sin\left(a — \varphi\right).
\)

Наибольшее значение синуса равно \( 1 \), поэтому наибольшее значение выражения:

\(
5 \sin\left(a — \varphi\right) = 5.
\)

ответ: \( 5 \).