ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 347 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Докажите тождество:
\(
\sin\left(\frac{a}{4}\right) \cos\left(\frac{a}{4}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right)
\)

2.
\(
\frac{\sin(6a)}{\sin(2a)} + \frac{\cos(6a)}{\cos(2a)}
\)

3.
\(
\frac{\cot(a) + \tan(a)}{\cot(a) — \tan(a)}
\)

4.
\(
\frac{1 — 2\sin^2(2a)}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)\right)^2}
\)

1)
\(
\sin \frac{a}{4} \cos \frac{a}{4} \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{4} \sin a;
\)

2)
\(
\frac{\sin 6a}{\sin 2a} + \frac{\cos 6a}{\cos 2a} = \frac{\sin 6a \cos 2a + \cos 6a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a} = \frac{\sin 8a}{\sin 2a \cos 2a} = \frac{2 \sin 4a \cos 4a}{\sin 2a \cos 2a} = \frac{1}{2} \sin 4a =
\)
\(
= 4 \cos 4a;
\)

3)
\(
\frac{\cot a + \tan a}{\cot a — \tan a} = \frac{1 + \tan^2 a}{1 — \tan^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a} : \left( 2 — \frac{1}{\cos^2 a} \right) = \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{2 \cos^2 a — 1} = \frac{1}{2 \cos^2 a — 1} =
\)
\(
= \frac{1}{\cos 2a};
\)

4)
\(
\frac{1 — 2 \sin^2 2a}{2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \sin^2 \left(\frac{3\pi}{4} + 2a \right)} = \frac{\cos 4a}{2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} — \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right)\right)} =
\)
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \cos^2 \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right)} = \frac{\cos 4a}{\frac{2 \sin \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cos \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right)}{\cos 4a}} = -1.
\)

1)
\(
\sin \frac{a}{4} \cos \frac{a}{4} \cos \frac{a}{2}
\)

Используем формулу двойного угла для синуса:
\(
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x
\),
где \(x = \frac{a}{4}\). Тогда:
\(
\sin \frac{a}{4} \cos \frac{a}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{a}{2}.
\)

Подставляем это в исходное выражение:
\(
\frac{1}{2} \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}.
\)

Применяем формулу двойного угла для синуса ещё раз:
\(
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x
\),
где \(x = \frac{a}{2}\). Тогда:
\(
\frac{1}{2} \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{4} \sin a.
\)

Итак, окончательно:
\(
\sin \frac{a}{4} \cos \frac{a}{4} \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{4} \sin a.
\)

2)
\(
\frac{\sin 6a}{\sin 2a} + \frac{\cos 6a}{\cos 2a}
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{\sin 6a \cos 2a + \cos 6a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a}.
\)

Числитель — это формула синуса суммы:
\(
\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x + y),
\)
где \(x = 6a\), \(y = 2a\). Тогда:
\(
\sin 6a \cos 2a + \cos 6a \sin 2a = \sin 8a.
\)

Итак:
\(
\frac{\sin 8a}{\sin 2a \cos 2a}.
\)

Знаменатель можно записать как:
\(
\sin 2a \cos 2a = \frac{1}{2} \sin 4a.
\)

Тогда:
\(
\frac{\sin 8a}{\frac{1}{2} \sin 4a} = 2 \frac{\sin 8a}{\sin 4a}.
\)

Используем формулу двойного угла:
\(
\sin 8a = 2 \sin 4a \cos 4a.
\)

Подставляем:
\(
2 \frac{2 \sin 4a \cos 4a}{\sin 4a} = 4 \cos 4a.
\)

Итак, окончательно:
\(
\frac{\sin 6a}{\sin 2a} + \frac{\cos 6a}{\cos 2a} = 4 \cos 4a.
\)

3)
\(
\frac{\cot a + \tan a}{\cot a — \tan a}
\)

Выражаем тангенс и котангенс через синус и косинус:
\(
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}.
\)

Тогда числитель становится:
\(
\frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a \cos a}.
\)

По основному тригонометрическому тождеству:
\(
\cos^2 a + \sin^2 a = 1.
\)

Итак, числитель:
\(
\frac{1}{\sin a \cos a}.
\)

Знаменатель:
\(
\frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin a \cos a}.
\)

Используем формулу косинуса двойного угла:
\(
\cos^2 a — \sin^2 a = \cos 2a.
\)

Итак, знаменатель:
\(
\frac{\cos 2a}{\sin a \cos a}.
\)

Делим числитель на знаменатель:
\(
\frac{\frac{1}{\sin a \cos a}}{\frac{\cos 2a}{\sin a \cos a}} = \frac{1}{\cos 2a}.
\)

Итак, окончательно:
\(
\frac{\cot a + \tan a}{\cot a — \tan a} = \frac{1}{\cos 2a}.
\)

4)
\(
\frac{1 — 2 \sin^2 2a}{2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \sin^2 \left(\frac{3\pi}{4} + 2a \right)}
\)

Числитель:
\(
1 — 2 \sin^2 2a = \cos 4a
\)
(по формуле косинуса двойного угла).

Знаменатель:
\(
2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \sin^2 \left(\frac{3\pi}{4} + 2a \right).
\)

Используем формулу приведения:
\(
\sin \left(\frac{3\pi}{4} + 2a \right) = \cos \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right).
\)

Тогда знаменатель становится:
\(
2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \cos^2 \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right).
\)

Выражаем тангенс через синус и косинус:
\(
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
\)

Подставляем:
\(
2 \frac{\sin \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right)}{\cos \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right)} \cdot \cos^2 \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right).
\)

Сокращаем:
\(
2 \sin \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cos \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right).
\)

Используем формулу двойного угла для синуса:
\(
2 \sin x \cos x = \sin 2x.
\)

Тогда знаменатель:
\(
\sin 2 \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right).
\)

Аргумент упрощается:
\(
2 \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) = \frac{3\pi}{2} — 4a.
\)

Используем формулу приведения:
\(
\sin \left(\frac{3\pi}{2} — x \right) = -\cos x.
\)

Итак, знаменатель:
\(
-\cos \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right).
\)

Окончательно:
\(
\frac{\cos 4a}{-\cos 4a} = -1.
\)

Ответ:
\(
\frac{1 — 2 \sin^2 2a}{2 \tan \left(\frac{3\pi}{4} — 2a \right) \cdot \sin^2 \left(\frac{3\pi}{4} + 2a \right)} = -1.
\)