ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 348 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано: \( \tan\left(\frac{x}{4}\right) = 0.4 \). Найдите \( \tan\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) \).

Известно следующее:
\( \text{tg} \frac{x}{4} = 0,4, \quad \text{tg} \frac{x}{2} = \frac{2 \, \text{tg} \frac{x}{4}}{1 — \text{tg}^2 \frac{x}{4}}; \)

\( \text{tg} \frac{x}{2} = \frac{0,8}{1 — 0,16} = \frac{0,8}{0,84} = \frac{20}{21}; \)

Значение данного выражения:
\( N = \text{tg} \left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{\text{tg} 45^\circ + \text{tg} \frac{x}{2}}{1 — \text{tg} 45^\circ \, \text{tg} \frac{x}{2}}; \)

\( N = \frac{1 + \text{tg} \frac{x}{2}}{1 — \text{tg} \frac{x}{2}} = \frac{1 + \frac{20}{21}}{1 — \frac{20}{21}} = \frac{\frac{21 + 20}{21}}{\frac{21 — 20}{21}} = \frac{41}{1} = 41; \)

Ответ: 41.

Известно следующее:
\(
\text{tg} \left(\frac{x}{4}\right) = 0,4
\)
Используем формулу для приведения:
\(
\text{tg} \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2 \cdot \text{tg} \left(\frac{x}{4}\right)}{1 — \left(\text{tg} \left(\frac{x}{4}\right)\right)^2}
\)

Подставляем значение \(\text{tg} \left(\frac{x}{4}\right) = 0,4\):
\(
\text{tg} \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2 \cdot 0,4}{1 — (0,4)^2}
\)

Выполняем вычисления:
\(
\text{tg} \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{0,8}{1 — 0,16} = \frac{0,8}{0,84} = \frac{20}{21}
\)

Теперь вычисляем значение выражения:
\(
N = \text{tg} \left(45^\circ + \frac{x}{2}\right)
\)
Используем формулу суммы тангенсов:
\(
\text{tg} (a + b) = \frac{\text{tg}(a) + \text{tg}(b)}{1 — \text{tg}(a) \cdot \text{tg}(b)}
\)

Подставляем \(a = 45^\circ\) и \(b = \frac{x}{2}\):
\(
N = \frac{\text{tg} (45^\circ) + \text{tg} \left(\frac{x}{2}\right)}{1 — \text{tg} (45^\circ) \cdot \text{tg} \left(\frac{x}{2}\right)}
\)

Так как \(\text{tg}(45^\circ) = 1\), то:
\(
N = \frac{1 + \text{tg} \left(\frac{x}{2}\right)}{1 — \text{tg} \left(\frac{x}{2}\right)}
\)

Подставляем значение \(\text{tg} \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{20}{21}\):
\(
N = \frac{1 + \frac{20}{21}}{1 — \frac{20}{21}}
\)

Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю:
\(
N = \frac{\frac{21 + 20}{21}}{\frac{21 — 20}{21}}
\)

Выполняем деление дробей:
\(
N = \frac{21 + 20}{21 — 20} = \frac{41}{1} = 41
\)

Ответ: 41.