ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 355 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите область определения функции:}
\)
1) \( y = \arcsin(x — 5); \)
2) \( y = \text{arccos}(x^2 — 3); \)
3) \( y = \text{arctg}(6 — x). \)

1) \( f(x) = \arcsin(x — 5) \)
Область определения:
\(
x — 5 \geq -1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 4,
\)
\(
x — 5 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq 6.
\)
Ответ: \( D(x) = [4; 6] \).

2) \( f(x) = \arccos(x^2 — 3) \)
Область определения:
\(
x^2 — 3 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad |x| \leq 2,
\)
\(
x^2 — 3 \geq -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 2 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq \sqrt{2}.
\)
Ответ: \( D(x) = [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2] \).

3) \( f(x) = \arctan(6 — x) \)
Функция арктангенса определена для любого действительного аргумента. Выражение \(6-x\) определено при всех \(x\in\mathbb{R}\).
Ответ: \(D(x)=\mathbb{R}=(-\infty; +\infty)\).

1) \( f(x) = \arcsin(x — 5) \).
Функция \(\arcsin\) определена, если выражение под знаком \(\arcsin\) принадлежит отрезку \([-1; 1]\).
Рассмотрим условие:
\(
-1 \leq x — 5 \leq 1.
\)
Решим двойное неравенство:
\(
-1 + 5 \leq x \leq 1 + 5,
\)
\(
4 \leq x \leq 6.
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = [4; 6].
\)

2) \( f(x) = \arccos(x^2 — 3) \).
Функция \(\arccos\) определена, если выражение под знаком \(\arccos\) принадлежит отрезку \([-1; 1]\).
Рассмотрим условие:
\(
-1 \leq x^2 — 3 \leq 1.
\)
Решим двойное неравенство:

а) \( x^2 — 3 \leq 1 \):
\(
x^2 \leq 4.
\)
\(
|x| \leq 2.
\)

б) \( x^2 — 3 \geq -1 \):
\(
x^2 \geq 2.
\)
\(
|x| \geq \sqrt{2}.
\)

Объединим оба условия:
\(
\sqrt{2} \leq |x| \leq 2.
\)

Таким образом, область определения:
\(
D(x) = [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2].
\)

3) \( f(x) = \arctan(6 — x) \).
Область определения арктангенса — вся числовая ось. Поэтому на аргумент \(6-x\) не накладывается ограничений, кроме его действительности. Линейное выражение \(6-x\) определено при любом действительном \(x\).
Таким образом, область определения: \(D(x)=\mathbb{R}=(-\infty; +\infty)\).