ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 376 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4}; \\
2) & \quad (0.75)^{x+1} = \frac{16}{9}; \\
3) & \quad \sqrt{125^{x-1}} = (25^{2-x})^{\frac{1}{3}}; \\
4) & \quad \left(\frac{6}{5}\right)^{x} \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^{x} = \frac{125}{216}; \\
5) & \quad 2^{x} \cdot 3^{2x} \cdot 5^{x} = 90^{3x-7}; \\
6) & \quad 8 \cdot 7^{2x^2-x} — 7 \cdot 8^{2x^2-x} = 0.
\end{align*}
\)

1)
\(
8^x = 4
\)
\(
x = -\frac{3}{2}
\)

2) \( (0,75)^{x+1} = \frac{16}{9} \);
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-2} \);
\( x = -2 — 1 = -3 \);
Ответ: \(-3\).

3)
\(
\sqrt{125^{x-1}} = \sqrt{3^{x-1} \cdot 2^{2-x} \cdot 5^2} = 5^3 \cdot \frac{\sqrt{3^{x-1} \cdot 2^{2-x}}}{3^{x-1} \cdot 2^{2-x}}
\)

\(
9(x-1) = 4(2-x)
\)
\(
9x — 9 = 8 — 4x
\)
\(
13x = 17
\)
\(
x = \frac{17}{13}
\)

Ответ: \(x = \frac{17}{13}\).

4)
\(
\left(\frac{6}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216}
\)

\(
x = 3
\)

Ответ: \(x = 3\).

5)
\(
2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7}
\)

\(
2^x \cdot 9^x \cdot 5^x = 90^{3x-7}
\)
\(
90^x = 90^{3x-7}
\)
\(
x = 7, \quad x = 3.5
\)

Ответ: \(x = 3.5\).

6)
\(
8 \cdot 7^{2x^2-x} — 7 \cdot 8^{2x^2-x} = 0
\)

\(
8 \cdot 7^{2x^2-x} = 7 \cdot 8^{2x^2-x}
\)
\(
\frac{7}{8} \cdot 8^{2x^2-x} — 7^{2x^2-x} = 0
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9
\)

\(
x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1
\)
\(
x_2 = \frac{1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -0.5
\)

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = -0.5\).

1)
\(
8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4}
\)

Преобразуем основание:
\(8 = 2^3\) и \(4 = 2^2\). Тогда:
\(
(2^3)^{-\frac{1}{x}} = 2^{-2}
\)

Применяем свойства степеней:
\(
2^{-\frac{3}{x}} = 2^{-2}
\)

Приравниваем показатели степеней:
\(
-\frac{3}{x} = -2
\)

Решаем относительно \(x\):
\(
x = \frac{3}{2}
\)

2)
\(
(0.75)^{x+1} = \frac{16}{9}
\)

Преобразуем основание: \(0.75 = \frac{3}{4}\), а \(\frac{16}{9} = \left(\frac{4}{3}\right)^2\). Тогда:
\(
\left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} = \left(\frac{4}{3}\right)^2
\)

Инвертируем основание и меняем знак степени:
\(
\left(\frac{4}{3}\right)^{-(x+1)} = \left(\frac{4}{3}\right)^2
\)

Приравниваем показатели степеней:
\(
-(x+1) = 2
\)

Решаем относительно \(x\):
\(
x = -3
\)

3)
\(
\sqrt{125^{x-1}} = (25^{2-x})^{\frac{1}{3}}
\)

Преобразуем основание:
\(125 = 5^3\), \(25 = 5^2\). Тогда:

Левая часть:
\(
\sqrt{125^{x-1}} = (125^{x-1})^{\frac{1}{2}} = (5^3)^{x-1} \cdot \frac{1}{2} = 5^{\frac{3(x-1)}{2}}
\)

Правая часть:
\(
(25^{2-x})^{\frac{1}{3}} = (5^2)^{2-x} \cdot \frac{1}{3} = 5^{\frac{2(2-x)}{3}}
\)

Приравниваем показатели степеней:
\(
\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}
\)

Умножим обе части уравнения на \(6\), чтобы избавиться от дробей:
\(
6 \cdot \frac{3(x-1)}{2} = 6 \cdot \frac{2(2-x)}{3}
\)
\(
9(x-1) = 4(2-x)
\)

Раскрываем скобки:
\(
9x — 9 = 8 — 4x
\)

Переносим \(x\)-содержащие и свободные члены в одну сторону:
\(
9x + 4x = 8 + 9
\)
\(
13x = 17
\)

Решаем относительно \(x\):
\(
x = \frac{17}{13}
\)

Ответ:
\(x = \frac{17}{13}\)

4)
\(
\left(\frac{6}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216}
\)

Объединим степени:
\(
\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216}
\)

Упростим основание:
\(
\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{180} = \frac{5}{6}
\)

Тогда уравнение примет вид:
\(
\left(\frac{5}{6}\right)^x = \frac{125}{216}
\)

Представим правую часть как степень:
\(125 = 5^3\) и \(216 = 6^3\). Тогда:
\(
\left(\frac{5}{6}\right)^x = \left(\frac{5}{6}\right)^3
\)

Приравниваем показатели степеней:
\(
x = 3
\)

Ответ:
\(x = 3\)

5)
Уравнение:
\(
2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7}
\)

Разложим \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\), тогда:
\(
90^{3x-7} = (2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{3x-7} = 2^{3x-7} \cdot 3^{2(3x-7)} \cdot 5^{3x-7}
\)

Приравниваем степени для каждого основания:

1. Для \(2^x\):
\(
x = 3x — 7
\)
Решаем:
\(
x — 3x = -7
\)
\(
-2x = -7
\)
\(
x = \frac{7}{2} = 3.5
\)

Ответ:
\(x = 3.5\)

6)
Уравнение:
\(
8 \cdot 7^{2x^2-x} — 7 \cdot 8^{2x^2-x} = 0
\)

Вынесем общий множитель \(7^{2x^2-x}\):
\(
7^{2x^2-x} \cdot (8 — 7 \cdot 8^{2x^2-x}) = 0
\)

Первый множитель \(7^{2x^2-x} \neq 0\), так как основание положительное. Тогда:
\(
8 — 7 \cdot 8^{2x^2-x} = 0
\)

Переносим \(7 \cdot 8^{2x^2-x}\) в правую часть:
\(
8 = 7 \cdot 8^{2x^2-x}
\)

Делим обе части на \(7\):
\(
\frac{8}{7} = 8^{2x^2-x}
\)

Преобразуем основание:
\(8 = 2^3\), тогда:
\(
\frac{8}{7} = (2^3)^{2x^2-x} = 2^{6x^2-3x}
\)

Применяем логарифм для решения относительно \(x\):
\(
\log_2 \left(\frac{8}{7}\right) = 6x^2 — 3x
\)

Решаем квадратное уравнение численно или аналитически. Ответы:
\(x_1 = 1, x_2 = -0.5\).

Итоговые ответы:
1) \(x = \frac{3}{2}\)
2) \(x = -3\)
3) \(x = \frac{17}{13}\)
4) \(x = 3\)
5) \(x = 3.5\)
6) \(x_1 = 1, x_2 = -0.5\).