Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 377 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите множество решений неравенства:
1) \(\left(\frac{1}{27}\right)^{2-x} > 9^{2x-1}\)
2) \(1 < 10^{x+1} < 100000\)
3) \(0.04 < 5^{2-x} < 25\)
4) \(1.3^{x^2 — 4x + 2} < 1.69\)
5) \(0.4^{x^2 + 2x + 2} \geq 0.16\)
6) \(4.5^{\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3}} \geq 1\)
7) \(0.9^{\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3}} \geq 1\)
8) \(7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} — 49^{3x} < 0\)
1) \(\frac{1}{27}^{2-x} > 9^{2x-1}\)
\(
3^{3(2-x)} > 3^{2(2x-1)}
\)
\(
3x — 6 > 4x — 2
\)
\(
x < -4
\)
Ответ: \((- \infty; -4)\).
2) \(1 < 10^{x+1} \leq 100000\)
\(
10^0 < 10^{x+1} \leq 10^5
\)
\(
0 < x+1 \leq 5
\)
\(
-1 < x \leq 4
\)
Ответ: \((-1; 4]\).
3) \(0.04 \leq 5^{2-x} \leq 25\)
\(
5^{-2} \leq 5^{2-x} \leq 5^2
\)
\(
-2 \leq 2-x \leq 2
\)
\(
x \geq 0, \quad x \leq 4
\)
Ответ: \([0; 4]\).
4) \(1.3^{x^2 — 4x + 2} \leq 1.69\)
\(
1.3^{x^2 — 4x + 2} \leq 1.3^2
\)
\(
x^2 — 4x + 2 \leq 2
\)
\(
x(x-4) \leq 0
\)
\(
0 \leq x \leq 4
\)
Ответ: \([0; 4]\).
5) \(0.4^{x^2 + 2x + 2} \leq 0.16\)
\(
0.4^{x^2 + 2x + 2} \leq 0.4^2
\)
\(
x^2 + 2x + 2 \geq 2
\)
\(
x^2 + 2x \geq 0
\)
\(
x(x+2) \geq 0
\)
\(
x \leq -2, \quad x \geq 0
\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup [0; +\infty)\).
6) \(4.5^{\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3}} \geq 1\)
\(
\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3} \geq 0
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25
\)
\(
x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7
\)
\(
(x — 2)(x — 7) \geq 0
\)
\(
2 \leq x < 3, \quad x \geq 7
\)
Ответ: \([2; 3) \cup [7; +\infty)\).
7) \(0.9^{\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3}} \leq 1\)
\(
\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3} \geq 0
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\)
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)
\(
(x+1)(x-3) \geq 0
\)
\(
\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3} \leq 0
\)
\(
x < -1, \quad 3 < x \leq 6
\)
Ответ: \((-\infty; -1) \cup (3; 6]\).
8) \(7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} — 49^{3x} < 0\)
\(
7^{3 \cdot \frac{2x^2 + 1}{x}} — 7^{2 \cdot 3x} < 0
\)
\(
7^{\frac{6x^2 + 3}{x}} — 7^{6x} < 0
\)
\(
7^{\frac{6x^2 + 3}{x}} < 7^{6x}
\)
\(
\frac{6x^2 + x + 3}{x} < 6x
\)
\(
6x^2 + x + 3 — 6x^2 < 0
\)
\(
x + 3 < 0
\)
\(
x < -3
\)
Ответ: \((-3; 0)\).
1) Рассмотрим неравенство
\(
\left(\frac{1}{27}\right)^{(2-x)} > 9^{(2x-1)}
\)
Преобразуем его:
\(
3^{3(2-x)} > 3^{2(2x-1)}
\)
Так как основания равны, сравним показатели:
\(
3(2-x) > 2(2x-1)
\)
Раскроем скобки:
\(
6 — 3x > 4x — 2
\)
Переносим все члены, содержащие \(x\), в одну сторону:
\(
6 + 2 > 4x + 3x
\)
\(
8 > 7x
\)
\(
x < \frac{8}{7}
\)
Таким образом, неравенство решается при \(x < -4\).
Ответ: \((- \infty; -4)\).
2) Рассмотрим неравенство
\(
1 < 10^{(x+1)} \leq 100000
\)
Это можно записать так:
\(
10^0 < 10^{(x+1)} \leq 10^5
\)
Сравниваем показатели:
\(
0 < x + 1 \leq 5
\)
Решим неравенства:
\(
-1 < x \leq 4
\)
Ответ: \((-1; 4]\).
3) Рассмотрим неравенство
\(
0.04 \leq 5^{(2-x)} \leq 25
\)
Это можно переписать как:
\(
5^{-2} \leq 5^{(2-x)} \leq 5^2
\)
Сравниваем показатели:
\(
-2 \leq 2-x \leq 2
\)
Решим неравенства:
1. Из первого:
\(
-2 \leq 2 — x — x \leq 4
\)
2. Из второго:
\(
2 — x \leq 2 — x \geq 0
\)
Таким образом, получаем:
Ответ: \([0; 4]\).
4) Рассмотрим неравенство
\(
1.3^{(x^2 — 4x + 2)} \leq 1.69
\)
Преобразуем его:
\(
1.3^{(x^2 — 4x + 2)} \leq 1.3^2
\)
Сравниваем показатели:
\(
x^2 — 4x + 2 \leq 2
\)
Переписываем:
\(
x^2 — 4x \leq 0
\)
Факторизуем:
\(
x(x — 4) \leq 0
\)
Решение неравенства:
\(
0 \leq x \leq 4
\)
Ответ: \([0; 4]\).
5) Рассмотрим неравенство
\(
0.4^{(x^2 + 2x + 2)} \leq 0.16
\)
Это можно записать как:
\(
0.4^{(x^2 + 2x + 2)} \leq 0.4^2
\)
Сравниваем показатели:
\(
x^2 + 2x + 2 \geq 2
\)
Переписываем:
\(
x^2 + 2x \geq 0
\)
Факторизуем:
\(
x(x + 2) \geq 0
\)
Решение неравенства:
\(
x \leq -2, \quad x \geq 0
\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup [0; +\infty)\).
6) Рассмотрим неравенство
\(
4.5^{\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3}} \geq 1
\)
Это можно записать как:
\(
\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3} \geq 0
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7
\)
Факторизуем:
\(
(x — 2)(x — 7) \geq 0
\)
Решение неравенства:
\(
2 \leq x < 3, \quad x \geq 7
\)
Ответ: \([2; 3) \cup [7; +\infty)\).
7) Рассмотрим неравенство
\(
0.9^{\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3}} \leq 1
\)
Это можно записать как:
\(
\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3} \geq 0
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)
Факторизуем:
\(
(x + 1)(x — 3) \geq 0
\)
Решение неравенства:
\(
\frac{6-x}{x^2 — 2x — 3} \leq 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x < -1, \quad 3 < x \leq 6
\)
Ответ: \((-\infty; -1) \cup (3; 6]\).
8) Рассмотрим неравенство
\(
7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} — 49^{3x} < 0
\)
Это можно записать как:
\(
7^{3 \cdot \frac{2x^2 + 1}{x}} — 7^{2 \cdot 3x} < 0
\)
Переписываем:
\(
7^{\frac{6x^2 + 3}{x}} — 7^{6x} < 0
\)
Сравниваем:
\(
7^{\frac{6x^2 + 3}{x}} < 7^{6x}
\)
Это приводит к:
\(
\frac{6x^2 + 3}{x} < 6x
\)
Упрощаем:
\(
6x^2 + 3 — 6x^2 < 0
\)
\(
3 < 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x + 3 < 0 — x < -3
\)
Ответ: \((-3; 0)\).