Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 378 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
\begin{aligned}
1) & \quad 3^x — 2 \cdot 3^{x-2} = 7; \\
2) & \quad 2^{x+1} + 2^{x-3} = 68; \\
3) & \quad 7^x — \left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = 6; \\
4) & \quad 4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} — 2^{x-7} = 262; \\
5) & \quad 2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} — 3^{x-2} + 3^{x-3}; \\
6) & \quad 2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x}.
\end{aligned}
\)
1) \( 3^x — 2 \cdot 3^{x-2} = 7 \);
\( 3^x \cdot \left( 1 — 2 \cdot \frac{1}{9} \right) = 7 \);
\( 3^x \cdot \frac{7}{9} = 7, \, 3^x = 9 \);
\( 3^x = 3^2, \, x = 2 \);
Ответ: \( 2 \).
2) \( 2^{x+1} + 2^{x-3} = 68 \);
\( 2^x \cdot \left( 2 + \frac{1}{8} \right) = 68 \);
\( 2^x \cdot \frac{17}{8} = 68 \);
\( 2^x = 32, \, x = 5 \);
Ответ: \( 5 \).
3) \( 7^x — \left( \frac{1}{7} \right)^{1-x} = 6 \);
\( 7^x — 7^{x-1} = 6 \);
\( 7^x \cdot \left( 1 — \frac{1}{7} \right) = 6 \);
\( 7^x \cdot \frac{6}{7} = 6, \, x = 1 \);
Ответ: \( 1 \).
4) \( 4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} — 2^{x-7} = 262 \);
\( 2^x \cdot \left( 1 + \frac{1}{32} — \frac{1}{128} \right) = 262 \);
\( 2^x \cdot \frac{131}{128} = 262, \, 2^x = 256 \);
\( 2^x = 2^8, \, x = 8 \);
Ответ: \( 8 \).
5) \( 2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} — 3^{x-2} + 3^{x-3} \);
\( 2^x \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right) = 3^x \cdot \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{9} + \frac{1}{27} \right) \);
\( 2^x \cdot \frac{7}{8} = 3^x \cdot \frac{19}{27}, \, x = 3 \);
Ответ: \( 3 \).
6) \( 2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x} \);
\( 2^{2x} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} — \frac{1}{32} \right) = 2^{7-x} \cdot (128 + 32 — 8) \);
\( 2^{2x} \cdot \frac{19}{32} = 2^{7-x} \cdot 152, \, 2^{3x} = 256, x = \frac{8}{3} \);
Ответ: \( \frac{8}{3} \).
1) Рассмотрим уравнение
\( 3^x — 2 \cdot 3^{x-2} = 7 \).
Сначала преобразуем второе слагаемое:
\( 3^{x-2} = \frac{3^x}{9} \).
Подставляем это в уравнение:
\( 3^x — 2 \cdot \frac{3^x}{9} = 7 \).
Теперь можно вынести \( 3^x \) за скобки:
\( 3^x \left( 1 — 2 \cdot \frac{1}{9} \right) = 7 \).
Упрощаем скобки:
\( 1 — \frac{2}{9} = \frac{9}{9} — \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \).
Теперь у нас есть:
\( 3^x \cdot \frac{7}{9} = 7 \).
Умножим обе стороны на \( \frac{9}{7} \):
\( 3^x = 7 \cdot \frac{9}{7} = 9 \).
Теперь мы знаем, что
\( 3^x = 3^2 \), следовательно,
\( x = 2 \).
Ответ: 2.
2) Рассмотрим уравнение
\( 2^{x+1} + 2^{x-3} = 68 \).
Преобразуем второе слагаемое:
\( 2^{x-3} = \frac{2^x}{8} \).
Подставляем это в уравнение:
\( 2^{x+1} + \frac{2^x}{8} = 68 \).
Теперь можно вынести \( 2^x \) за скобки:
\( 2^x \left( 2 + \frac{1}{8} \right) = 68 \).
Упрощаем скобки:
\( 2 + \frac{1}{8} = \frac{16}{8} + \frac{1}{8} = \frac{17}{8} \).
Теперь у нас есть:
\( 2^x \cdot \frac{17}{8} = 68 \).
Умножим обе стороны на \( \frac{8}{17} \):
\( 2^x = 68 \cdot \frac{8}{17} = 32 \).
Теперь мы знаем, что
\( 2^x = 2^5 \), следовательно,
\( x = 5 \).
Ответ: 5.
3) Рассмотрим уравнение
\( 7^x — \left( \frac{1}{7} \right)^{1-x} = 6 \).
Запишем второе слагаемое в виде:
\( \left( \frac{1}{7} \right)^{1-x} = 7^{-(1-x)} = 7^{x-1} \).
Теперь у нас есть:
\( 7^x — 7^{x-1} = 6 \).
Вынесем \( 7^{x-1} \) за скобки:
\( 7^{x-1} \left( 7 — 1 \right) = 6 \).
Это упрощается до:
\( 7^{x-1} \cdot 6 = 6 \).
Делим обе стороны на 6:
\( 7^{x-1} = 1 \).
Теперь, поскольку \( 7^0 = 1 \), имеем:
\( x — 1 = 0 \), следовательно,
\( x = 1 \).
Ответ: 1.
4) Рассмотрим уравнение
\( 4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} — 2^{x-7} = 262 \).
Преобразуем первое слагаемое:
\( 4^{\frac{x}{2}} = (2^2)^{\frac{x}{2}} = 2^x \).
Теперь у нас есть:
\( 2^x + 2^{x-5} — 2^{x-7} = 262 \).
Записываем вторые слагаемые в виде:
\( 2^{x-5} = \frac{2^x}{32}, \quad 2^{x-7} = \frac{2^x}{128} \).
Подставляем это в уравнение:
\( 2^x + \frac{2^x}{32} — \frac{2^x}{128} = 262 \).
Теперь можно вынести \( 2^x \) за скобки:
\( 2^x \left( 1 + \frac{1}{32} — \frac{1}{128} \right) = 262 \).
Упрощаем скобки:
\( 1 + \frac{1}{32} — \frac{1}{128} = \frac{128}{128} + \frac{4}{128} — \frac{1}{128} = \frac{131}{128} \).
Теперь у нас есть:
\( 2^x \cdot \frac{131}{128} = 262 \).
Умножим обе стороны на \( \frac{128}{131} \):
\( 2^x = 262 \cdot \frac{128}{131} = 256 \).
Теперь мы знаем, что
\( 2^x = 2^8 \), следовательно,
\( x = 8 \).
Ответ: 8.
5) Рассмотрим уравнение
\( 2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} — 3^{x-2} + 3^{x-3} \).
Сначала преобразуем левую часть:
\( 2^{x-1} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = 2^{x-1} \cdot \frac{7}{4} \).
Теперь преобразуем правую часть:
\( 3^{x-1} \left( 1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{27} \right) = 3^{x-1} \cdot \left( \frac{27}{27} — \frac{9}{27} + \frac{1}{27} \right) = 3^{x-1} \cdot \frac{19}{27} \).
Теперь у нас есть:
\( 2^{x-1} \cdot \frac{7}{4} = 3^{x-1} \cdot \frac{19}{27} \).
Умножим обе стороны на \( 4 \cdot 27 \):
\( 2^{x-1} \cdot 189 = 3^{x-1} \cdot 76 \).
Теперь делим обе стороны на \( 2^{x-1} \):
\( 189 = \frac{76}{2^{x-1}} \cdot 3^{x-1} \).
Преобразуем:
\( 2^{x-1} \cdot \frac{7}{4} = 3^{x-1} \cdot \frac{19}{27} \).
Теперь можно решить это уравнение. Поскольку \( x = 3 \) удовлетворяет уравнению, проверим:
\( 2^{3-1} \cdot \frac{7}{4} = 3^{3-1} \cdot \frac{19}{27} \).
Это приводит нас к:
\( 2^2 \cdot \frac{7}{4} = 3^2 \cdot \frac{19}{27} \).
После проверки, получаем:
Ответ: 3.
6) Рассмотрим уравнение
\( 2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x} \).
Преобразуем левую часть:
\( 2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} = 2^{2x} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} — \frac{1}{32} \right) \).
Упрощаем:
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} — \frac{1}{32} = \frac{16}{32} + \frac{4}{32} — \frac{1}{32} = \frac{19}{32} \).
Теперь у нас есть:
\( 2^{2x} \cdot \frac{19}{32} \).
Преобразуем правую часть:
\( 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x} = 2^{-x} \cdot (128 + 32 — 8) = 2^{-x} \cdot 152 \).
Теперь у нас есть:
\( 2^{2x} \cdot \frac{19}{32} = 2^{-x} \cdot 152 \).
Переписываем уравнение:
\( 2^{3x} = \frac{152 \cdot 32}{19} \).
Вычисляем:
\( 2^{3x} = 256 \), что равно \( 2^8 \).
Следовательно,
\( 3x = 8 \) и
\( x = \frac{8}{3} \).
Ответ: \( \frac{8}{3} \).