ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 380 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 4^x — 14 \cdot 2^x — 32 = 0; \\
2) & \quad 9^x + 3^x — 6 = 0; \\
3) & \quad 49^x + 2 \cdot 7^x — 35 = 0; \\
4) & \quad \frac{16 — 3^{2x}}{3^x + 4} = 1; \\
5) & \quad 8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{3x + 3}{x}} + 12 = 0; \\
6) & \quad 9 — 2^x = 2^{3 — x}; \\
7) & \quad 2^{(\sin(x))^2} + 5 \cdot 2^{(\cos(x))^2} = 7; \\
8) & \quad (0.2)^{2x — 2} — 126 \cdot (0.2)^x + 5 = 0; \\
9) & \quad 3^{1 + v(x + 1)} = 28 — 3^{2 — v(x + 1)}; \\
10) & \quad \frac{5}{3^{x — 1}} — \frac{2}{3^x — 1} = 4.
\end{align*}
\)

Решить уравнение:

1)
\(
4^x — 14 \cdot 2^x — 32 = 0;
\)
\(
D = 14^2 + 4 \cdot 1 \cdot 32 = 196 + 128 = 324, \text{ тогда: } x_1 = 14 — 18 = -2 \text{ и } ;
\)
\(
x_2 = 14 + 18 = 32;
\)
\(
x_1 = \log_2(16) = 4;
\)
Ответ: \(4\).

2)
\(
9^x + 3^x — 6 = 0;
\)
\(
D = (-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 + 24 = 25, \text{ тогда: } x_1 = -3 \text{ и } x_2 = -2;
\)
\(
x_1 = \log_3(2);
\)
Ответ: \(\log_3(2)\).

3)
\(
49^x + 2 \cdot 7^x — 35 = 0;
\)
\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 35 = 4 + 140 = 144, \text{ тогда: } x_1 = -7 \text{ и } x_2 = 5;
\)
\(
x_1 = \log_7(5);
\)
Ответ: \(\log_7(5)\).

4)
\(
\frac{16 — 3^{2x}}{3^x + 4} = 1;
\)
\(
16 — 3^{2x} = 3^x + 4, \text{ тогда: } D = (-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 9 + 48 = 49;
\)
\(
x_1 = \log_3(3) = 1;
\)
Ответ: \(1\).

5)
\(
8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0;
\)
\(
8^{\frac{1}{x}} — 8^{\frac{1}{x}} \cdot 8^{\frac{1}{x}} + 12 = 0;
\)
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16, \text{ тогда: } x_1 = \log_8(2) = 3 \text{ и } x_2 = \log_6(8);
\)
Ответ: \(3; \log_6(8)\).

6)
\(
9 — 2^x = 2^{3-x};
\)
\(
9 \cdot 2^x — 2^{2x} = 23, \quad 2^{2x} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49, \text{ тогда: } x_1 = \log_2(1) = 0 \text{ и } x_2 = \log_2(8) = 3;
\)
Ответ: \(0; 3\).

7) \(2 \sin^2 x + 5 \cdot 2 \cos^2 x = 7;\)

\(
2^{1-\cos^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} — 7 = 0;
\)

\(
5 \cdot 2^{2 \cos^2 x} — 7 \cdot 2^{\cos^2 x} + 2 = 0;
\)

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9, тогда:
\)

\(
2^{\cos^2 x_1} = \frac{7 — 3}{2 \cdot 5} = \frac{2}{5} \quad и \quad 2^{\cos^2 x_2} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = 1;
\)

\(
\cos^2 x_1 = \log_2 \frac{2}{5} \quad и \quad \cos^2 x_2 = 0;
\)

\(
x_1 \in \emptyset \quad и \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Ответ: \(\frac{\pi}{2} + \pi n.\)

8)
\(
(0.2)^{2x-2} — 126 \cdot (0.2)^x + 5 = 0;
\)
\(
D = 126^2 — 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 — 500 = 12476, \text{ тогда: } x_1 = \log_{0.2}(5) = 2 \text{ и }
\)

\(
x_2 = \log_{0.2}(5) = -1;
\)
Ответ: \(-1; 2\).

9) Рассмотрим уравнение:

\(
3^{1+\sqrt{x+1}} = 28 — 3^{2-\sqrt{x+1}}
\)

Обозначим \(y = 3^{\sqrt{x+1}}\). Тогда \(3^{1+\sqrt{x+1}} = 3 \cdot y\), а \(3^{2-\sqrt{x+1}} = \frac{9}{y}\). Подставим эти выражения в уравнение:

\(
3 \cdot y = 28 — \frac{9}{y}
\)

Умножим обе части уравнения на \(y\), чтобы избавиться от дроби:

\(
3 \cdot y^2 = 28 \cdot y — 9
\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\(
3 \cdot y^2 — 28 \cdot y + 9 = 0
\)

Рассчитаем дискриминант:

\(
D = 28^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 — 108 = 676
\)

Найдем корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{28 — \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 — 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\)

\(
y_2 = \frac{28 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9
\)

Вернемся к замене \(y = 3^{\sqrt{x+1}}\). Тогда:

1. Если \(y = \frac{1}{3}\), то \(3^{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{3}\), что дает \(\sqrt{x+1} = -1\). Это невозможно, так как \(\sqrt{x+1} \geq 0\).

2. Если \(y = 9\), то \(3^{\sqrt{x+1}} = 9\), что дает \(\sqrt{x+1} = 2\). Тогда \(x+1 = 4\), и \(x = 3\).

Ответ:

\(
x = 3
\)

10) Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{5}{3^{x-1}} — \frac{2}{3^{x-1}} = 4
\)

Обозначим \(y = 3^{x-1}\). Тогда уравнение принимает вид:

\(
\frac{5}{y} — \frac{2}{y} = 4
\)

Упростим левую часть:

\(
\frac{5-2}{y} = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{y} = 4
\)

Умножим обе части уравнения на \(y\):

\(
3 = 4 \cdot y
\)

Найдем \(y\):

\(
y = \frac{5}{4}
\)

Вернемся к замене \(y = 3^{x-1}\). Тогда:

\(
3^{x-1} = \frac{5}{4}
\)

Применим логарифм:

\(
x-1 = \log_3 \frac{5}{4}
\)

Найдем \(x\):

\(
x = 1; \log_3 \frac{5}{4}
\)

Ответ:

\(
x = 1 ; \log_3 \frac{5}{4}
\)

Рассмотрим каждое уравнение подробнее, следуя вашему запросу.

1) Уравнение:

\(
4^x — 14 \cdot 2^x — 32 = 0
\)

Преобразуем уравнение, используя \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \):

\(
(2^x)^2 — 14 \cdot 2^x — 32 = 0
\)

Обозначим \( y = 2^x \):

\(
y^2 — 14y — 32 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{2}
\)

Вычислим корни:

\(
y_1 = \frac{14 — 18}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{14 + 18}{2} = 16
\)

Так как \( y = 2^x \), принимаем только положительное значение:

\(
2^x = 16 — x = \log_2(16) = 4
\)

Ответ: \( 4 \).

2) Уравнение:

\(
9^x + 3^x — 6 = 0
\)

Преобразуем уравнение, используя \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \):

\(
(3^x)^2 + 3^x — 6 = 0
\)

Обозначим \( y = 3^x \):

\(
y^2 + y — 6 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}
\)

Вычислим корни:

\(
y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\)

Так как \( y = 3^x \), принимаем только положительное значение:

\(
3^x = 2 — x = \log_3(2)
\)

Ответ: \( \log_3(2) \).

3) Уравнение:

\(
49^x + 2 \cdot 7^x — 35 = 0
\)

Преобразуем уравнение, используя \( 49^x = (7^2)^x = (7^x)^2 \):

\(
(7^x)^2 + 2 \cdot 7^x — 35 = 0
\)

Обозначим \( y = 7^x \):

\(
y^2 + 2y — 35 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2}
\)

Вычислим корни:

\(
y_1 = \frac{-2 — 12}{2} = -7, \quad y_2 = \frac{-2 + 12}{2} = 5
\)

Так как \( y = 7^x \), принимаем только положительное значение:

\(
7^x = 5 —  x = \log_7(5)
\)

Ответ: \( \log_7(5) \).

4) Уравнение:

\(
\frac{16 — 3^{2x}}{3^x + 4} = 1
\)

Преобразуем уравнение:

\(
16 — 3^{2x} = 3^x + 4
\)

Перепишем:

\(
16 — 4 = 3^{2x} + 3^x
\)

\(
12 = 3^{2x} + 3^x
\)

Обозначим \( y = 3^x \):

\(
12 = y^2 + y
\)

Теперь решим уравнение:

\(
y^2 + y — 12 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}
\)

Вычислим корни:

\(
y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3
\)

Так как \( y = 3^x \), принимаем только положительное значение:

\(
3^x = 3  — x = \log_3(3) = 1
\)

Ответ: \( 1 \).

5) Уравнение:

\(
8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0
\)

Преобразуем уравнение, используя \( 8 = 2^3 \):

\(
(2^3)^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{3x + 3}{x}} + 12 = 0
\)

Это можно записать как:

\(
2^{\frac{6}{x}} — 2^{3 + \frac{3}{x}} + 12 = 0
\)

Обозначим \( y = 2^{\frac{3}{x}} \):

\(
2^{\frac{6}{x}} = y^2, \quad 2^{3 + \frac{3}{x}} = 8y
\)

Теперь имеем:

\(
y^2 — 8y + 12 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{2}
\)

Вычислим корни:

\(
y_1 = 6, \quad y_2 = 2
\)

Теперь вернемся к \( x \):

1. \( 2^{\frac{3}{x}} = 6 — \frac{3}{x} = \log_2(6) — x = \frac{3}{\log_2(6)} \)
2. \( 2^{\frac{3}{x}} = 2 — \frac{3}{x} = 1 — x = 3 \)

Ответ: \( 3; \frac{3}{\log_2(6)} \).

6) Уравнение:

\(
9 — 2^x = 2^{3-x}
\)

Преобразуем уравнение:

\(
9 = 2^x + 2^{3-x}
\)

Запишем \( 2^{3-x} = \frac{8}{2^x} \):

\(
9 = 2^x + \frac{8}{2^x}
\)

Обозначим \( y = 2^x \):

\(
9 = y + \frac{8}{y}
\)

Умножим на \( y \):

\(
9y = y^2 + 8 — y^2 — 9y + 8 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{9 \pm 7}{2}
\)

Вычислим корни:

\(
y_1 = 8, \quad y_2 = 1
\)

Теперь вернемся к \( x \):

1. \( 2^x = 8 — x = 3 \)
2. \( 2^x = 1 — x = 0 \)

Ответ: \( 0; 3 \).

Рассмотрим уравнение:

\(
2 \sin^2 x + 5 \cdot 2 \cos^2 x = 7
\)

Используем \( \sin^2 x = 1 — \cos^2 x \):

\(
2 (1 — \cos^2 x) + 5 \cdot 2 \cos^2 x = 7
\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(
2 — 2 \cos^2 x + 10 \cos^2 x = 7 \quad \Rightarrow \quad 8 \cos^2 x = 5
\)

Находим \( \cos^2 x \):

\(
\cos^2 x = \frac{5}{8}
\)

Перепишем уравнение через степени двойки:

\(
2^{1-\cos^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} — 7 = 0
\)

Обозначим \( y = 2^{\cos^2 x} \), тогда \( 2^{1-\cos^2 x} = \frac{2}{y} \), и уравнение становится:

\(
\frac{2}{y} + 5y — 7 = 0
\)

Умножим на \( y \):

\(
5y^2 — 7y + 2 = 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 49 — 40 = 9
\)

Корни:

\(
y_1 = \frac{2}{5}, \quad y_2 = 1
\)

Если \( y = \frac{2}{5} \), то \( \cos^2 x = \log_2 \frac{2}{5} \), что невозможно, так как \( \cos^2 x \in (0; 1) \). Если \( y = 1 \), то \( \cos^2 x = 0 \), что даёт:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Ответ:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

8) Уравнение:

\(
(0.2)^{2x-2} — 126 \cdot (0.2)^x + 5 = 0
\)

Преобразуем уравнение, используя \( 0.2 = \frac{1}{5} \):

\(
(5^{-1})^{2x-2} — 126 \cdot (5^{-1})^x + 5 = 0
\)

Это можно записать как:

\(
5^{-2x + 2} — 126 \cdot 5^{-x} + 5 = 0
\)

Обозначим \( y = 5^{-x} \):

\(
\frac{1}{y^2} — 126y + 5 = 0
\)

Умножим на \( y^2 \):

\(
1 — 126y^3 + 5y^2 = 0 — 5y^2 — 126y + 1 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\(
D = (-126)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 15876 — 20 = 15856
\)

Решим уравнение:

\(
y_{1,2} = \frac{126 \pm \sqrt{15856}}{10}
\)

Теперь вернемся к \( x \):

1. \( y = 5^{-x} \) даст два значения \( x = -\log_5(y) \).

Ответ: \( x = -\log_5\left(\frac{126 \pm \sqrt{15856}}{10}\right) \).

9) Рассмотрим уравнение:

\(
3^{1+\sqrt{x+1}} = 28 — 3^{2-\sqrt{x+1}}
\)

Для упрощения обозначим \(y = 3^{\sqrt{x+1}}\). Тогда выражение \(3^{1+\sqrt{x+1}}\) можно переписать как \(3 \cdot y\), а \(3^{2-\sqrt{x+1}}\) как \(\frac{9}{y}\). Подставим эти выражения в уравнение:

\(
3 \cdot y = 28 — \frac{9}{y}
\)

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \(y\):

\(
3 \cdot y^2 = 28 \cdot y — 9
\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\(
3 \cdot y^2 — 28 \cdot y + 9 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

\(
D = 28^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 — 108 = 676
\)

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\(
y_1 = \frac{28 — \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 — 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\)

\(
y_2 = \frac{28 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9
\)

Теперь вернемся к нашей замене \(y = 3^{\sqrt{x+1}}\). Рассмотрим каждый из найденных корней:

1. Если \(y = \frac{1}{3}\), то \(3^{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{3}\). Это означает, что \(\sqrt{x+1} = -1\). Однако это невозможно, так как \(\sqrt{x+1} \geq 0\).

2. Если \(y = 9\), то \(3^{\sqrt{x+1}} = 9\). Это дает \(\sqrt{x+1} = 2\). Возведем обе стороны в квадрат:

\(
x+1 = 4
\)

Отсюда \(x = 3\).

Таким образом, единственное решение:

\(
x = 3
\)

10) Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{5}{3^{x-1}} — \frac{2}{3^{x-1}} = 4
\)

Обозначим \(y = 3^{x-1}\). Тогда уравнение можно переписать в виде:

\(
\frac{5}{y} — \frac{2}{y} = 4
\)

Упростим левую часть уравнения:

\(
\frac{5-2}{y} = 4
\)

Это дает:

\(
\frac{3}{y} = 4
\)

Умножим обе части уравнения на \(y\), чтобы избавиться от дроби:

\(
3 = 4 \cdot y
\)

Теперь найдем \(y\):

\(
y = \frac{5}{4}
\)

Вернемся к нашей замене \(y = 3^{x-1}\). Тогда:

\(
3^{x-1} = \frac{5}{4}
\)

Применим логарифм с основанием 3 к обеим частям уравнения:

\(
x-1 = \log_3 \frac{5}{4}
\)

Теперь выразим \(x\):

\(
x = 1 ; \log_3 \frac{5}{4}
\)

Таким образом, решение уравнения:

\(
x = 1; \log_3 \frac{5}{4}
\)