Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 381 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
\(
\begin{align*}
1) & \quad 25^x — 2 \cdot 5^x — 15 > 0; \\
2) & \quad 4^{(x+1)} — 9 \cdot 2^x + 2 > 0; \\
3) & \quad 3^{(x+2)} — 28 \cdot 3^{(0.5x)} + 3 > 0; \\
4) & \quad \left(\frac{1}{9}\right)^x — 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x — 27 > 0; \\
5) & \quad \left(\frac{1}{4}\right)^x — 2^{(1-x)} — 8 > 0; \\
6) & \quad 7^x + 7^{(2-x)} — 50 > 0.
\end{align*}
\)
1)
\(
25^x — 2 \cdot 5^x — 15 > 0
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64
\)
Тогда:
\(
(5^x + 3)(5^x — 5) > 0
\)
\(
5^x < -3 \quad \text{или} \quad 5^x > 5
\)
\(
5^x > 5 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)
Ответ:
\(
(1; +\infty)
\)
2)
\(
4^{x+1} — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0
\)
\(
4 \cdot 4^x — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49
\)
Тогда:
\(
(2^x — 4)(2^x — 2) \leq 0
\)
Ответ:
\(
[-2; 1]
\)
3)
\(
3^{x+2} — 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \geq 0
\)
\(
9 \cdot 3^x — 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \geq 0
\)
\(
D = 28^2 — 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 — 108 = 676
\)
Тогда:
\(
(3^{0.5x} — 3)(3^{0.5x} — 9) \geq 0
\)
\(
3^{0.5x} \geq 9 \quad \text{или} \quad 3^{0.5x} \leq 3
\)
\(
0.5x \leq -2 \quad \text{или} \quad 0.5x \geq 1
\)
Ответ:
\(
x < -4, x > 2.5
\)
Ответ:
\((-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)\).
4)
\(
-6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x — 27 < 0;
\)
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144
\)
Тогда:
\(
(3^{-x} + 3)(3^{-x} — 9) < 0
\)
\(
-3 < 3^{-x} < 9
\)
\(
3^{-x} < 3^2, \quad x > -2;
\)
Ответ:
\(
[-2; +\infty).
\)
5)
\(
\left(\frac{1}{4}\right)^x — 2^{1-x} — 8 \geq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\)
Тогда:
\(
(2^{-x} + 2)(2^{-x} — 4) \geq 0
\)
\(
2^{-x} \leq 2, \quad x \geq -2;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -2].
\)
6)
\(
7^x + 7^{2-x} — 50 \geq 0;
\)
\(
D = 50^2 — 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 — 196 = 2304
\)
Тогда:
\(
(7^x — 1)(7^x — 49) \geq 0
\)
\(
7^x \leq 1, \quad x \geq 0;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; 0) \cup [2; +\infty).
\)
1) Уравнение:
\(25^x — 2 \cdot 5^x — 15 > 0\)
Преобразуем уравнение:
\(25^x — 2 \cdot 5^x — 15 = 0\)
\((5^x + 3)(5^x — 5) = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64\)
Решим уравнение:
\(5^x + 3 = 0 \quad \text{или} \quad 5^x — 5 = 0\)
\(5^x = -3 \quad \text{или} \quad 5^x = 5\)
Так как \(5^x\) не может быть отрицательным, принимаем только положительное значение:
\(5^x = 5 \quad \Rightarrow \quad x > 1\)
Ответ: \((1; +\infty)\)
2) Уравнение:
\(4^{x+1} — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0\)
Преобразуем уравнение:
\(4 \cdot 4^x — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49\)
Решим уравнение:
\((2^x — 4)(2^x — 2) \leq 0\)
Ответ: \([-2; 1]\)
3) Уравнение:
\(3^{x+2} — 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \geq 0\)
Преобразуем уравнение:
\(9 \cdot 3^x — 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \geq 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 28^2 — 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 — 108 = 676\)
Решим уравнение:
\((3^{0.5x} — 3)(3^{0.5x} — 9) \geq 0\)
\(3^{0.5x} \geq 9 \quad \text{или} \quad 3^{0.5x} \leq 3\)
\(0.5x \leq -2 \quad \text{или} \quad 0.5x \geq 1\)
Ответ:
\((-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)\).
4) Уравнение:
\(-6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x — 27 < 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144\)
Решим уравнение:
\((3^{-x} + 3)(3^{-x} — 9) < 0\)
\(-3 < 3^{-x} < 9\)
\(3^{-x} < 3^2, \quad x > -2\)
Ответ: \([-2; +\infty)\)
5) Уравнение:
\(\left(\frac{1}{4}\right)^x — 2^{1-x} — 8 \geq 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36\)
Решим уравнение:
\((2^{-x} + 2)(2^{-x} — 4) \geq 0\)
\(2^{-x} \leq 2, \quad x \geq -2\)
Ответ: \((-\infty; -2]\)
6) Уравнение:
\(7^x + 7^{2-x} — 50 \geq 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 50^2 — 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 — 196 = 2304\)
Решим уравнение:
\((7^x — 1)(7^x — 49) \geq 0\)
\(7^x \leq 1, \quad x \geq 0\)
Ответ: \((-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\)