Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 382 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
\[
\begin{align*}
1) & \quad 3^x — 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} — 50 \cdot 2^x = 0; \\
2) & \quad 3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^{2x+2} = 0; \\
3) & \quad 5^{2x+1} — 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1}; \\
4) & \quad 7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0.
\end{align*}
\]
1. Уравнение:
\(
3^x — 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} — 50 \cdot 2^x = 0
\)
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x — 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 50 = 0
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 1 \cdot 50 = 25 + 200 = 225
\)
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{-5 — \sqrt{225}}{2} = -5, \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2} = 10
\)
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = \log_{1.5} 10
\)
Ответ:
\(
x = \log_{1.5} 10
\)
2. Уравнение:
\(
3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^{2x+2} = 0
\)
\(
81 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} + 45 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 36 = 0
\)
\(
9 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 4 = 0
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 25 + 144 = 169
\)
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{-5 — \sqrt{169}}{2 \cdot 9} = -1, \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 9} = \frac{4}{9}
\)
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = \log_3 \frac{4}{9} = -2
\)
Ответ:
\(
x = -2
\)
3. Уравнение:
\(
5^{2x+1} — 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1}
\)
\(
5 \cdot 5^{2x} — 3 \cdot 10^x — 2 \cdot 2^{2x} = 0
\)
\(
t = \left(\frac{5}{2}\right)^x, \quad \text{тогда уравнение становится:}
\)
\(
5 \cdot t^2 — 3 \cdot t — 2 = 0
\)
\(
D = (-3)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49
\)
\(
t_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 — 7}{10} = -\frac{2}{5}, \quad t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = 1
\)
\(
t_1 = -\frac{2}{5} \quad \Rightarrow \quad t_1 \in \emptyset, \quad t_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \log_{2.5} 1 = 0
\)
Ответ:
\(
x = 0
\)
4. Уравнение:
\(
7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0
\)
\(
t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}, \quad \text{тогда уравнение становится:}
\)
\(
7 \cdot t^2 — 9 \cdot t + 2 = 0
\)
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 — 56 = 25
\)
\(
t_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 — 5}{14} = \frac{2}{7}, \quad t_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = 1
\)
\(
t_1 = \frac{2}{7} \quad \Rightarrow \quad x_1^2 = \log_{\frac{2}{7}}{\frac{2}{7}} = 1, \quad x_1 = \pm\sqrt{1} = \pm1
\)
\(
t_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x_2^2 = \log_{\frac{2}{7}}{1} = 0, \quad x_2 = 0
\)
Ответ:
\(
x = -1, \, x = 0, \, x = 1
\)
1. Уравнение:
\(3^x — 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} — 50 \cdot 2^x = 0\)
Сначала преобразуем уравнение, введя новую переменную \(t = \left(\frac{3}{2}\right)^x\):
\(\left(\frac{3}{2}\right)^x — 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 50 = 0\)
\(t — 5 \cdot \sqrt{t} — 50 = 0\)
Находим дискриминант:
\(D = 5^2 + 4 \cdot 1 \cdot 50 = 25 + 200 = 225\)
Решаем квадратное уравнение:
\(t = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2}\)
Получаем два корня:
\(t_1 = -5, \quad t_2 = 10\)
Переходим обратно к исходной переменной \(x\):
\(t_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^x = -5 \quad \Rightarrow \quad x_1\) не существует, так как \(t_1 < 0\).
\(t_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^x = 10 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \log_{1.5} 10\)
Ответ:
\(x = \log_{1.5} 10\)
2. Уравнение:
\(3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^{2x+2} = 0\)
Преобразуем уравнение, введя новую переменную \(t = \left(\frac{3}{2}\right)^x\):
\(81 \cdot t^2 + 45 \cdot t — 36 = 0\)
Находим дискриминант:
\(D = 45^2 + 4 \cdot 81 \cdot (-36) = 2025 — 11664 = -9639\)
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Однако, можно найти комплексные корни:
\(t_1 = \frac{-45 — \sqrt{9639}}{2 \cdot 81} = -1, \quad t_2 = \frac{-45 + \sqrt{9639}}{2 \cdot 81} = \frac{4}{9}\)
Переходим обратно к исходной переменной \(x\):
\(t_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^x = -1 \quad \Rightarrow \quad x_1\) не существует, так как \(t_1 < 0\).
\(t_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{4}{9} \quad \Rightarrow \quad x_2 = \log_3 \frac{4}{9} = -2\)
Ответ:
\(x = -2\)
3. Уравнение:
\(5^{2x+1} — 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1}\)
Преобразуем уравнение, введя новую переменную \(t = \left(\frac{5}{2}\right)^x\):
\(5 \cdot t^2 — 3 \cdot t — 2 = 0\)
Находим дискриминант:
\(D = (-3)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49\)
Решаем квадратное уравнение:
\(t_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5}, \quad t_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = 1\)
Переходим обратно к исходной переменной \(x\):
\(t_1 = \left(\frac{5}{2}\right)^x = -\frac{2}{5} \quad \Rightarrow \quad x_1\) не существует, так как \(t_1 < 0\).
\(t_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \log_{2.5} 1 = 0\)
Ответ:
\(x = 0\)
4. Уравнение:
\(7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0\)
Преобразуем уравнение, введя новую переменную \(t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}\):
\(7 \cdot t^2 — 9 \cdot t + 2 = 0\)
Находим дискриминант:
\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 — 56 = 25\)
Решаем квадратное уравнение:
\(t_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 — 5}{14} = \frac{2}{7}, \quad t_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = 1\)
Переходим обратно к исходной переменной \(x\):
\(t_1 = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \frac{2}{7} \quad \Rightarrow \quad x_1^2 = \log_{\frac{2}{7}}{\frac{2}{7}} = 1, \quad x_1 = \pm\sqrt{1} = \pm1\)
\(t_2 = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x_2^2 = \log_{\frac{2}{7}}{1} = 0, \quad x_2 = 0\)
Ответ:
\(x = -1, \, x = 0, \, x = 1\)