Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 383 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1. \( 2^{1 — \log_2{7}} \)
2. \( 5^{3\log_5{2}} \)
3. \( 10^{1 + \lg(\sin{\frac{\pi}{6}})} \)
4. \( 4^{\frac{1}{2}\log_2{3} + \log_2{5}} \)
5. \( \log_4{\log_{14}{196}} + \log_5{\sqrt{5}} \)
6. \( \lg{20} + \lg{50} \)
7. \( \log_3{7} — \log_3{\frac{7}{27}} \)
8. \( 5^{-2\log_{25}{\frac{1}{4}} + \log_5{2}} \)
9. \( 36^{\log_6{7}} + 10^{2 — \lg{4}} — 7^{\log_{49}{25}} \)
10. \( 3\lg{5} + \frac{1}{2}\lg{64} \)
11. \( \frac{\lg{27} + \lg{12}}{\lg{2} + 2\lg{3}} \)
12. \( \log_{\sqrt{2}}{12} — \log_2{9} \)
1) \( 2^{1-\log_2{7}} = \frac{2}{2^{\log_2{7}}} = \frac{2}{7}; \)
2) \( 5^{3\log_5{2}} = 5^{\log_5{2^3}} = 5^{\log_5{8}} = 8; \)
3) \( 10^{1+\lg{\frac{\pi}{6}}} = 10 \cdot 10^{\lg{\frac{1}{2}}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5; \)
4) \( 4^{\frac{1}{2}\log_2{3}+\log_2{5}} = 4^{\log_2{5\sqrt{3}}} = 4^{\log_4{75}} = 75; \)
5) \( \log_4{\log_{14}{196}} + \log_5{\sqrt{5}} = \log_4{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \)
6) \( \lg{20} + \lg{50} = \lg{(20 \cdot 50)} = \lg{1000} = \lg{10^3} = 3; \)
7) \( \log_3{7} — \log_3{\frac{7}{27}} = \log_3{\left(7 \cdot \frac{27}{7}\right)} = \log_3{27} = 3; \)
8) \( 5^{-2\log_{25}{4} + \log_5{2}} = 5^{\log_5{4} + \log_5{2}} = 5^{\log_5{8}} = 8; \)
9) \( 36^{\log_6{7}} + 10^{2 — \lg{4}} — 7^{\log_{49}{25}} = 6^{2\log_6{7}} + \frac{100}{10^{\lg{4}}} — 7^{\log_7{(5^2)}} = \)
\( = 6^{\log_6{72}} + \frac{100}{4} — 7^{\log_7{5}} = 6^{\log_6{49}} + 25 — 5 = 49 + 20 = 69; \)
10) \( 3\lg{5} + \frac{1}{2}\lg{64} = \lg{5^3} + \lg{\sqrt{64}} = \lg{(125 \cdot 8)} = \lg{1000} = 3; \)
11) \( \lg{27} + \lg{12} = \frac{\lg{(27 \cdot 12)}}{\lg{2} + \lg{3}} = \frac{\lg{324}}{\lg{18}} = \log_{18}{324} = 2; \)
12) \( \log_2{12} — \log_2{9} = \log_2{144} — \log_2{9} = \log_2{16} = 4; \)
1) \( 2^{1-\log_2(7)} \)
Начнем с выражения:
\(
2^{1-\log_2(7)} = 2^1 \cdot 2^{-\log_2(7)}
\)
По свойству степеней \( a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \), получаем:
\(
2^{1-\log_2(7)} = \frac{2}{2^{\log_2(7)}}
\)
По определению логарифма \( 2^{\log_2(7)} = 7 \), следовательно:
\(
2^{1-\log_2(7)} = \frac{2}{7}
\)
2) \( 5^{3\log_5(2)} \)
Используем свойство логарифмов \( a^{k\log_a(x)} = x^k \), тогда:
\(
5^{3\log_5(2)} = 2^3
\)
Посчитаем \( 2^3 \):
\(
5^{3\log_5(2)} = 8
\)
3) \( 10^{1+\lg\left(\frac{\pi}{6}\right)} \)
Разделим выражение на две части:
\(
10^{1+\lg\left(\frac{\pi}{6}\right)} = 10^1 \cdot 10^{\lg\left(\frac{\pi}{6}\right)}
\)
Первый множитель \( 10^1 = 10 \).
Для второго множителя используем свойство логарифмов \( \lg\left(\frac{a}{b}\right) = \lg(a) — \lg(b) \):
\(
10^{\lg\left(\frac{\pi}{6}\right)} = 10^{\lg(\pi) — \lg(6)}
\)
Так как значение \( \pi \approx 3.1416 \), а \( \lg(6) \approx 0.778 \), то приближенно получаем:
\(
10 \cdot 10^{\lg\left(\frac{1}{2}\right)} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\)
4) \( 4^{\frac{1}{2}\log_2(3)+\log_2(5)} \)
Используем свойство степеней \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \):
\(
4^{\frac{1}{2}\log_2(3)+\log_2(5)} = 4^{\frac{1}{2}\log_2(3)} \cdot 4^{\log_2(5)}
\)
Для первого множителя:
\(
4^{\frac{1}{2}\log_2(3)} = \left(4^{\log_2(3)}\right)^{\frac{1}{2}}
\)
Так как \( 4 = 2^2 \), то \( 4^{\log_2(3)} = 3^2 \), следовательно:
\(
\left(4^{\log_2(3)}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3
\)
Для второго множителя:
\(
4^{\log_2(5)} = 5^2
\)
Теперь перемножим:
\(
3 \cdot 25 = 75
\)
5) \( \log_4(\log_{14}(196)) + \log_5(\sqrt{5}) \)
\(
\log_{14}(196) = 2, \text{ так как } 14^2 = 196
\)
Следовательно:
\(
\log_4(\log_{14}(196)) = \log_4(2)
\)
Теперь второй логарифм:
\(
\log_5(\sqrt{5}) = \log_5(5^{1/2}) = \frac{1}{2}
\)
Сложим:
\(
\log_4(2) + \frac{1}{2}
\)
По свойству \( \log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)} \), значение \( \log_4(2) = \frac{1}{2} \). Итог:
\(
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\)
6) \( \lg(20) + \lg(50) \)
Используем свойство \( \lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b) \):
\(
\lg(20) + \lg(50) = \lg(20 \cdot 50) = \lg(1000)
\)
Теперь представим \( 1000 \) как степень десяти:
\(
1000 = 10^3
\)
Следовательно:
\(
\lg(1000) = \lg(10^3) = 3
\)
7) \( \log_3(7) — \log_3\left(\frac{7}{27}\right) \)
Используем свойство \( \log_a(x) — \log_a(y) = \log_a\left(\frac{x}{y}\right) \):
\(
\log_3(7) — \log_3\left(\frac{7}{27}\right) = \log_3\left(7 \cdot \frac{27}{7}\right)
\)
Сократим \( 7 \):
\(
\log_3\left(27\right)
\)
По определению логарифма \( \log_3(27) = 3 \), так как \( 3^3 = 27 \).
8) Дано выражение:
\( 5^{-2} \cdot \log_2 54 + \log_5 2 \)
Шаг 1: Упростим выражение \( 5^{-2} \)
Используем свойство степеней \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
\( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)
Теперь выражение становится:
\( \frac{\log_2 54}{25} + \log_5 2 \)
Шаг 2: Упростим выражение \( \log_5 2 \)
Оставляем его без изменений, так как оно будет использоваться позже.
Шаг 3: Перепишем выражение через свойства логарифмов
Используем основное свойство логарифмов:
\( a^{\log_a b} = b \)
Учитывая это, выражение \( \log_5 2 \) можно представить как часть степени в следующем виде:
\( 5^{\log_5 4 + \log_5 2} = 5^{\log_5 (4 \cdot 2)} = 5^{\log_5 8} \)
Шаг 4: Упростим выражение \( 5^{\log_5 8} \)
По свойству \( a^{\log_a b} = b \):
\( 5^{\log_5 8} = 8 \)
Итоговое упрощение:
Всё выражение сводится к:
\( 8 \)
Ответ для задачи 8:
\( 5^{-2} \cdot \log_2 54 + \log_5 2 = 8 \)
9) \( 36^{\log_6(7)} + 10^{2 — \lg(4)} — 7^{\log_{49}(25)} \)
\(
36^{\log_6(7)} = 6^{2\log_6(7)} = 6^{\log_6(7^2)} = 6^{\log_6(49)} = 49
\)
Второе выражение:
\(
10^{2 — \lg(4)} = 10^2 \cdot 10^{-\lg(4)} = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25
\)
Третье выражение:
\(
7^{\log_{49}(25)} = 7^{\frac{\log_7(25)}{\log_7(49)}} = 7^{\frac{\log_7(25)}{2}}
\)
Упростим:
\(
7^{\frac{\log_7(25)}{2}} = \sqrt{25} = 5
\)
Сложим все вместе:
\(
49 + 25 — 5 = 69
\)
10) \( 3\lg(5) + \frac{1}{2}\lg(64) \)
Первое выражение:
\(
3\lg(5) = \lg(5^3) = \lg(125)
\)
Второе выражение:
\(
\frac{1}{2}\lg(64) = \lg(\sqrt{64}) = \lg(8)
\)
Сложим:
\(
\lg(125) + \lg(8) = \lg(125 \cdot 8) = \lg(1000)
\)
По свойству \( \lg(1000) = 3 \).
11) \( \lg(27) + \lg(12) \)
Используем свойство \( \lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b) \):
\(
\lg(27) + \lg(12) = \lg(27 \cdot 12) = \lg(324)
\)
Теперь разложим \( \lg(324) \) через основание \( 18 \):
\(
\lg(324) = \log_{18}(324) \cdot \lg(18)
\)
Так как \( 324 = 18^2 \), то:
\(
\log_{18}(324) = 2
\)
12) Начнем с выражения \( \log_2(12) — \log_2(9) \).
Согласно свойству логарифмов \( \log_a(x) — \log_a(y) = \log_a(\frac{x}{y}) \), можем записать:
\( \log_2(12) — \log_2(9) = \log_2(\frac{12}{9}) \).
Упростим дробь \( \frac{12}{9} \):
\( \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \).
Таким образом:
\( \log_2(12) — \log_2(9) = \log_2(\frac{4}{3}) \).
2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения \( \log_2(144) — \log_2(9) \).
Используя то же свойство логарифмов, запишем:
\( \log_2(144) — \log_2(9) = \log_2(\frac{144}{9}) \).
Упростим дробь \( \frac{144}{9} \):
\( \frac{144}{9} = 16 \).
Таким образом:
\( \log_2(144) — \log_2(9) = \log_2(16) \).
3. Теперь вернемся к исходному выражению \( \log_2(12) — \log_2(9) = \log_2(144) — \log_2(9) \).
Мы уже нашли, что:
\( \log_2(144) — \log_2(9) = \log_2(16) \).
Следовательно, \( \log_2(12) — \log_2(9) = \log_2(16) \).
4. Найдем значение \( \log_2(16) \). Поскольку \( 16 = 2^4 \), то:
\( \log_2(16) = 4 \).
Итак, окончательный результат:
\( \log_2(12) — \log_2(9) = \log_2(16) = 4 \).