ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 384 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел:

1. \( y = \lg(x + 1) \)
2. \( y = \lg(x^2 — 1) \)
3. \( y = \lg(x^2 + 1) \)
4. \( y = \lg(x^2) \)

Функция имеет: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \);

1) \( y = \lg(x+1) \): \( x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 \); Ответ: нет.

2) \( y = \lg(x^2-1) \): \( x^2-1 > 0 \Rightarrow x^2 > 1 \Rightarrow x < -1 \, \text{или} \, x > 1 \); Ответ: нет.

3) \( y = \lg(x^2+1) \): \( x^2+1 > 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \); Ответ: да.

4) \( y = \lg(x^2) \): \( x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 \); Ответ: нет.

Функция имеет: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

1) \( y = \lg(x+1) \):
Область определения логарифмической функции требует, чтобы выражение под логарифмом было строго положительным:
\( x+1 > 0 \).
Решаем неравенство:
\( x > -1 \).
Таким образом, область определения функции: \( (-1; +\infty) \).
Ответ: нет, так как область определения не совпадает с множеством действительных чисел.

2) \( y = \lg(x^2-1) \):
Область определения логарифмической функции требует, чтобы выражение под логарифмом было строго положительным:
\( x^2-1 > 0 \).
Решаем неравенство:
\( x^2 > 1 \).
Из этого следует, что \( x < -1 \) или \( x > 1 \).
Таким образом, область определения функции: \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).
Ответ: нет, так как область определения не совпадает с множеством действительных чисел.

3) \( y = \lg(x^2+1) \):
Область определения логарифмической функции требует, чтобы выражение под логарифмом было строго положительным:
\( x^2+1 > 0 \).
Учитывая, что \( x^2 \geq 0 \), данное неравенство всегда выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Таким образом, область определения функции: \( (-\infty; +\infty) \).
Ответ: да, так как область определения совпадает с множеством действительных чисел.

4) \( y = \lg(x^2) \):
Область определения логарифмической функции требует, чтобы выражение под логарифмом было строго положительным:
\( x^2 > 0 \).
Решаем неравенство:
\( x \neq 0 \).
Таким образом, область определения функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Ответ: нет, так как область определения не совпадает с множеством действительных чисел.