ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 385 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1. \( y = \ln\left(\frac{x+1}{4-5x}\right) \)
2. \( y = \log_6\left(4^x — 3 \cdot 2^x + 2\right) \)
3. \( y = \lg(\lg(x)) \)
4. \( y = \frac{x-2}{\log_2(x^2 — 8)} \)
5. \( y = \lg(5x — x^2) + \frac{1}{\lg(2-x)} \)
6. \( y = \log_{x-2}(x^2 + x — 3) \)

Найти область определения:

1) \( y = \ln\left(\frac{x+1}{4 — 5x}\right) \)
Область определения:
\( x+1 > 0, \)
\( 4 — 5x > 0; \)
\( x+1 > 0, x < \frac{4}{5}; \)
Ответ: \( (-1; 0,8). \)

2) \( y = \log_6(4^x — 3 \cdot 2^x + 2); \)
Область определения:
\( 4^x — 3 \cdot 2^x + 2 > 0; \)
Решение: \( (2^x — 1)(2^x — 2) > 0; \)
\( x < 0, x > 1; \)
Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty). \)

3) \( y = \lg(\lg(x)); \)
Область определения:
\( \lg(x) > 0, x > 10^0 = 1; \)
Ответ: \( (1; +\infty). \)

4) \( y = \frac{x — 2}{\log_2(x^2 — 8)} \)
Область определения:
\( \log_2(x^2 — 8) \neq 0, x^2 — 8 > 0, x^2 — 8 \neq 1; \)
\( x^2 > 8, x^2 \neq 9; \)
\( x < -3, x > -\sqrt{8}, x \neq +3; \)
Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (-3; -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}; 3) \cup (3; +\infty). \)

5) \( y = \lg(5x — x^2) + \frac{1}{\lg(2 — x)} \)
Область определения:
\( 5x — x^2 > 0, \lg(2 — x) \neq 0; \)
\( x(x — 5) < 0, 0 < x < 5; \)
\( 2 — x > 0, x < 2; \)
\( 2 — x \neq 1, x = 1; \)
Ответ: \( (0; 1) \cup (1; 2). \)

6) \( y = \log_{x-2}(x^2 + x — 6) \)
Область определения:
\( x^2 + x — 6 > 0, x — 2 > 0, x — 2 \neq 1; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot (-6) = 25, тогда: \)
\( x_1 = -3, x_2 = +2; \)
\( (x + 3)(x — 2) > 0, x > 2, x \neq 3; \)
Ответ: \( (2; 3) \cup (3; +\infty). \)

1) \( y = \ln\left(\frac{x+1}{4 — 5x}\right) \)

Область определения функции логарифма: выражение внутри логарифма должно быть положительным. Следовательно:

\(
\frac{x+1}{4 — 5x} > 0
\)

Рассмотрим условия, при которых дробь положительна:

1. \( x+1 > 0 \), то есть \( x > -1 \);
2. \( 4 — 5x > 0 \), то есть \( x < \frac{4}{5} \).

Теперь определим знаки дроби. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. С учетом условий \( x > -1 \) и \( x < \frac{4}{5} \), получаем:

\(
x \in (-1; 0.8)
\)

Ответ: \( (-1; 0.8) \).

2) \( y = \log_6(4^x — 3 \cdot 2^x + 2) \)

Область определения функции логарифма: выражение внутри логарифма должно быть положительным. Следовательно:

\(
4^x — 3 \cdot 2^x + 2 > 0
\)

Заметим, что \( 4^x = (2^x)^2 \). Подставим это:

\(
(2^x)^2 — 3 \cdot 2^x + 2 > 0
\)

Обозначим \( t = 2^x \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное неравенство:

\(
t^2 — 3t + 2 > 0
\)

Решим его через дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\)

Корни:

\(
t_1 = 1, \quad t_2 = 2
\)

Разложим на множители:

\(
(t — 1)(t — 2) > 0
\)

Решение:

\(
t \in (0; 1) \cup (2; +\infty)
\)

Возвращаемся к \( x \), так как \( t = 2^x \):

\(
2^x \in (0; 1) \quad \text{или} \quad 2^x \in (2; +\infty)
\)

Соответственно:

\(
x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)
\)

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).

3) \( y = \lg(\lg(x)) \)

Область определения функции логарифма: выражение внутри логарифма должно быть положительным. Следовательно:

\(
\lg(x) > 0
\)

Решим это неравенство. Напомним, что \( \lg(x) > 0 \) означает \( x > 10^0 = 1 \). Таким образом:

\(
x > 1
\)

Ответ: \( (1; +\infty) \).

4) \( y = \frac{x — 2}{\log_2(x^2 — 8)} \)

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, и выражение внутри логарифма должно быть положительным. Следовательно:

1. \( \log_2(x^2 — 8) \neq 0 \);
2. \( x^2 — 8 > 0 \);
3. \( x^2 — 8 \neq 1 \).

Рассмотрим сначала условие \( x^2 — 8 > 0 \):

\(
x^2 > 8
\)

Это дает:

\(
x < -\sqrt{8} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{8}
\)

Теперь рассмотрим условие \( x^2 — 8 \neq 1 \). Решим уравнение \( x^2 — 8 = 1 \):

\(
x^2 = 9
\)

Это дает:

\(
x = -3 \quad \text{или} \quad x = 3
\)

Объединяя условия, получаем:

\(
x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}; 3) \cup (3; +\infty)
\)

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (-3; -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}; 3) \cup (3; +\infty) \).

5) \( y = \lg(5x — x^2) + \frac{1}{\lg(2 — x)} \)

Область определения: выражения внутри логарифмов должны быть положительными, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно:

1. \( 5x — x^2 > 0 \);
2. \( \lg(2 — x) \neq 0 \).

Рассмотрим первое условие \( 5x — x^2 > 0 \). Разложим:

\(
x(5 — x) > 0
\)

Решение:

\(
x \in (0; 5)
\)

Теперь второе условие \( \lg(2 — x) \neq 0 \). Это означает:

\(
2 — x > 0 \quad \text{и} \quad 2 — x \neq 1
\)

Решим:

\(
x < 2 \quad \text{и} \quad x \neq 1
\)

Объединим оба условия:

\(
x \in (0; 1) \cup (1; 2)
\)

Ответ: \( (0; 1) \cup (1; 2) \).

6) \( y = \log_{x-2}(x^2 + x — 6) \)

Область определения: основание логарифма должно быть положительным и не равно единице, а выражение внутри логарифма должно быть положительным. Следовательно:

1. \( x^2 + x — 6 > 0 \);
2. \( x — 2 > 0 \);
3. \( x — 2 \neq 1 \).

Рассмотрим сначала условие \( x^2 + x — 6 > 0 \). Разложим на множители:

\(
x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)
\)

Решим неравенство:

\(
(x + 3)(x — 2) > 0
\)

Знаки выражения меняются на корнях \( x = -3 \) и \( x = 2 \). Решение:

\(
x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)
\)

Теперь условие \( x — 2 > 0 \):

\(
x > 2
\)

И условие \( x — 2 \neq 1 \):

\(
x \neq 3
\)

Объединяя все условия, получаем:

\(
x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)
\)

Ответ: \( (2; 3) \cup (3; +\infty) \).