ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 394 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1\)

2) \(\lg(x) = 3 — \lg(20)\)

3) \(\log_3(x) + \log_9(x) + \log_{27}(x) = 5.5\)

4) \(\log_2\left(\log_3\left(\log_4(x)\right)\right) = 0\)

5) \(100^{\lg(x + 10)} = 10\ 000\)

6) \(\log_2(9 — 2^x) = 7^{\log_7(3 — x)}\)

7) \(\log_{2x}(64) — \log_{2x}(4) = 2\)

8) \(\log_{x — 1}(2x^2 — 4x + 1) = 2\)

9) \(\frac{\log_2(x^2 — x — 16) — 2}{\log_5(x — 4)} = 0\)

1) \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1\);
\(x^2 + 4x = 5\), \(x^2 + 4x — 5 = 0\);
\(D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36\), тогда:
\(
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1.
\)
Ответ: \(-5; 1\).

2) \(\lg x = 3 — \lg 20\);
\(\lg x = \lg 1000 — \lg 20\);
\(\lg x = \lg 50\), \(x = 50\);
Ответ: \(50\).

3) \(\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5\);
\(
\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = 5.5;
\)
\(
\frac{11}{6} \log_3 x = 5.5, \quad 11 \log_3 x = 33;
\)
\(\log_3 x = 3\), \(x = 27\);
Ответ: \(27\).

4) \(\log_2 \log_3 \log_4 x = 0\);
\(\log_3 \log_4 x = 2^0 = 1\);
\(\log_4 x = 3\);
\(x = 4^3 = 64\);
Ответ: \(64\).

5) \(100^{\lg(x+10)} = 10\,000;\)
\(100^{\lg(x+10)} = 100^2;\)
\(\lg(x+10) = 2;\)
\(x + 10 = 10^2 = 100;\)
\(x = 100 — 10 = 90;\)
Ответ: \(90.\)

6) \(\log_2(9 — 2^x) = 7\log_7(3 — x);\)
\(\log_2(9 — 2^x) = 3 — x,\) \(9 — 2^x = 2^{3 — x};\)
\(9 \cdot 2^x — 2^{2x} = 2^3,\) \(2^{2x} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0;\)
\(D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,\) тогда:
\(
2^x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 2^x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\)
\(x_1 = \log_2 1 = 0\) и \(x_2 = \log_2 8 = 3;\)
Область определения: \(3 — x > 0,\) \(x < 3;\)
Ответ: \(0.\)

7) \(\log_{2x} 64 — \log_{2x} 4 = 2;\)
\(\log_{2x} 16 = 2,\) \(16 = 4x^2;\)
\(x^2 = 4,\) \(x = \pm\sqrt{4} = \pm2;\)
Область определения:
\(0 < 2x < 2,\) \(2x > 1;\)
\(0 < x < 0.5,\) \(x > 0.5;\)
Ответ: \(2.\)

8) \( \log_{x-1}(2x^2 — 4x + 1) = 2; \)
\( 2x^2 — 4x + 1 = x^2 — 2x + 1; \)
\( x(x — 2) = 0; \)
\( x_1 = 0, \, x_2 = 2; \)

Область определения:
\( 0 < x — 1 < 1, \, x — 1 > 1; \)
\( 1 < x < 2, \, x > 2; \)
Ответ: корней нет.

9) \(\frac{\log_2(x^2 — x — 16) — 2}{\log_5(x — 4)} = 0; \)
\(\log_2(x^2 — x — 16) — 2 = 0; \)
\(\log_2(x^2 — x — 16) = 2; \)
\( x^2 — x — 16 = 4, \, x^2 — x — 20 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \) тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;
\)

Область определения:
\( 0 < x — 4 < 1, \, x — 4 > 1; \)
\( 4 < x < 5, \, x > 5; \)
Ответ: корней нет.

1) \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1\)
Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 + 4x = 0.2^{-1} = 5
\)
Получаем квадратное уравнение:
\(
x^2 + 4x — 5 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1
\)
Ответ: \(-5; 1\).

2) \(\lg x = 3 — \lg 20\)
Преобразуем уравнение:
\(
\lg x = \lg 10^3 — \lg 20
\)
Используем свойство логарифмов:
\(
\lg x = \lg \frac{10^3}{20} = \lg 50
\)
Получаем:
\(
x = 50
\)
Ответ: \(50\).

3) \(\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5\)
Преобразуем логарифмы к одному основанию:
\(
\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = 5.5
\)
Сложим коэффициенты перед \(\log_3 x\):
\(
\frac{6}{6} \log_3 x + \frac{3}{6} \log_3 x + \frac{2}{6} \log_3 x = \frac{11}{6} \log_3 x
\)
Получаем уравнение:
\(
\frac{11}{6} \log_3 x = 5.5
\)
Умножим обе части на 6:
\(
11 \log_3 x = 33
\)
Разделим обе части на 11:
\(
\log_3 x = 3
\)
Найдем \(x\):
\(
x = 3^3 = 27
\)
Ответ: \(27\).

4) \(\log_2 \log_3 \log_4 x = 0\)
Рассмотрим уравнение:
\(
\log_3 \log_4 x = 2^0 = 1
\)
Преобразуем:
\(
\log_4 x = 3^1 = 3
\)
Найдем \(x\):
\(
x = 4^3 = 64
\)
Ответ: \(64\).

5) \(100^{\lg(x+10)} = 10\,000\)
Преобразуем основание степени:
\(
100^{\lg(x+10)} = 100^2
\)
Приравниваем показатели:
\(
\lg(x+10) = 2
\)
Найдем \(x+10\):
\(
x + 10 = 10^2 = 100
\)
Вычислим \(x\):
\(
x = 100 — 10 = 90
\)
Ответ: \(90\).

6) \(\log_2(9 — 2^x) = 7\log_7(3 — x)\)
Преобразуем:
\(
\log_2(9 — 2^x) = 3 — x
\)
Представим выражение в виде равенства:
\(
9 — 2^x = 2^{3 — x}
\)
Умножим обе части на \(2^x\):
\(
9 \cdot 2^x — 2^{2x} = 2^3
\)
Получаем квадратное уравнение относительно \(2^x\):
\(
2^{2x} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49
\)
Корни:
\(
2^x_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{2} = \frac{9 — 7}{2} = 1, \quad 2^x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = 8
\)
Найдем \(x\):
\(
x_1 = \log_2 1 = 0, \quad x_2 = \log_2 8 = 3
\)
Область определения:
\(
3 — x > 0 — x < 3
\)
Ответ: \(0\).

7) \(\log_{2x} 64 — \log_{2x} 4 = 2\)
Преобразуем:
\(
\log_{2x} \frac{64}{4} = 2
\)
Получаем:
\(
\log_{2x} 16 = 2
\)
Представим выражение в виде степени:
\(
16 = (2x)^2
\)
Рассчитаем \(x^2\):
\(
x^2 = 4
\)
Найдем \(x\):
\(
x = \pm\sqrt{4} = \pm2
\)
Область определения:
\(
0 < 2x < 2 \quad \text{и} \quad 2x > 1
\)
Получаем:
\(
0 < x < 0.5 \quad \text{и} \quad x > 0.5
\)
Ответ: \(2\).

8) \(\log_{x-1}(2x^2 — 4x + 1) = 2\)
Преобразуем уравнение:
\(
2x^2 — 4x + 1 = (x-1)^2
\)
Раскроем скобки:
\(
2x^2 — 4x + 1 = x^2 — 2x + 1
\)
Приведем подобные:
\(
x(x — 2) = 0
\)
Корни:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)
Область определения:
\(
0 < x — 1 < 1 \quad \text{и} \quad x — 1 > 1
\)
Получаем:
\(
1 < x < 2 \quad \text{и} \quad x > 2
\)
Ответ: корней нет.

9) \(\frac{\log_2(x^2 — x — 16) — 2}{\log_5(x — 4)} = 0\)
Рассмотрим числитель:
\(
\log_2(x^2 — x — 16) — 2 = 0
\)
Получаем:
\(
\log_2(x^2 — x — 16) = 2
\)
Представим выражение в виде степени:
\(
x^2 — x — 16 = 2^2 = 4
\)
Приведем подобные:
\(
x^2 — x — 20 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{81}}{2} = \frac{1 — 9}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5
\)
Область определения:
\(
0 < x — 4 < 1 \quad \text{и} \quad x — 4 > 1
\)
Получаем:
\(
4 < x < 5 \quad \text{и} \quad x > 5
\)
Ответ: корней нет.