Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 395 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите множество решений неравенства:
1. \(\log_7(2x — 1) < 2\)
2. \(\log_{1/2}(2x — 3) > 1\)
3. \(\log_4(x + 1) < -\frac{1}{2}\)
4. \(\lg(x^2 + x + 8) > 1\)
5. \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) > -1\)
6. \(\log_5(x^2 + 2x — 3) \geq 1\)
7. \(\log_{0.6}(x^2 + 4x + 4) > 0\)
8. \(\log_3\left(\frac{2x + 1}{x + 1}\right) \geq 1\)
9. \(\log_{1/6}\left(\frac{x + 2}{x^2}\right) < 0\)
1) \(\log_7(2x — 1) < 2\);
\(
2x — 1 < 49, \quad x < 25;
\)
Область определения: \(2x — 1 > 0, \quad x > 0,5;\)
Ответ: \((0,5; 25)\).
2) \(\log_{1/2}(2x — 3) > 1\);
\(
2x — 3 < \frac{1}{2}, \quad 4x — 6 < 1;
\)
\(
4x < 7, \quad x < \frac{7}{4}, \quad x < 1,75;
\)
Область определения:
\(
2x — 3 > 0, \quad 2x > 3;
\)
\(
x > \frac{3}{2}, \quad x > 1,5;
\)
Ответ: \((1,5; 1,75)\).
3) \(\log_4(x + 1) < -\frac{1}{2}\);
\(
x + 1 < \frac{1}{2}, \quad x < -0,5;
\)
Область определения:
\(
x + 1 > 0, \quad x > -1;
\)
Ответ: \((-1; -0,5)\).
4) \(\lg(x^2 + x + 8) > 1\);
\(
x^2 + x + 8 > 10, \quad x^2 + x — 2 > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\(
(x + 2)(x — 1) > 0, \quad x < -2, \quad x > 1;
\)
Ответ: \((- \infty; -2) \cup (1; +\infty)\).
5) \(\log_{0,2}(x^2 + 4x) \geq -1\);
\(
x^2 + 4x \leq 5, \quad x^2 + 4x — 5 \leq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 — 20 = 36, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;
\)
\(
(x + 5)(x — 1) \leq 0, \quad -5 \leq x \leq 1;
\)
Область определения:
\(
x^2 + 4x > 0, \quad x(x + 4) > 0;
\)
\(
x < -4, \quad x > 0;
\)
Ответ: \([-5; -4) \cup (0; 1]\).
6) \(\log_5(x^2 + 2x — 3) \leq 1\);
\(
x^2 + 2x — 3 \leq 5, \quad x^2 + 2x — 8 \leq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 — 32 = 36, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)
\(
(x + 4)(x — 2) \leq 0, \quad -4 \leq x \leq 2;
\)
Область определения:
\(
x^2 + 2x — 3 > 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 — 12 = 16, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\(
(x + 3)(x — 1) > 0, \quad x < -3, \quad x > 1;
\)
Ответ: \([-4; -3) \cup (1; 2]\).
7) \(\log_{0,6}(x^2 + 4x + 4) > 0\);
\(
x^2 + 4x + 4 < 1, \quad x^2 + 4x + 3 < 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)
\(
(x + 3)(x + 1) < 0, \quad -3 < x < -1;
\)
Область определения:
\(
x^2 + 4x + 4 > 0;
\)
\(
(x + 2)^2 > 0, \quad x \neq -2;
\)
Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; -1)\).
8) \(\log_3 \frac{2x + 1}{x + 1} \geq 1\);
\(
\frac{2x + 1}{x + 1} \geq 3, \quad \frac{3x + 3 — (2x + 1)}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{x + 2}{x + 1} \leq 0, \quad -2 \leq x < -1;
\)
Ответ: \([-2; -1)\).
9) \(\log_{1/6} \frac{x + 2}{x^2} < 0\);
\(
\frac{x + 2}{x^2} > 1, \quad x^2 — x — 2 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
(x + 1)(x — 2) < 0, \quad -1 < x < 2;
\)
Область определения:
\(
x + 2 > 0, \quad x > -2, \quad x \neq 0;
\)
Ответ: \((-1; 0) \cup (0; 2)\).
1) \( \log_7(2x — 1) < 2 \)
Рассмотрим неравенство:
\( 2x — 1 < 7^2, \quad 2x — 1 < 49 \)
Решим относительно \(x\):
\( 2x < 50, \quad x < 25 \)
Область определения:
\( 2x — 1 > 0, \quad x > \frac{1}{2} \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in (0.5; 25) \)
Ответ: \( (0.5; 25) \)
2) \( \log_{1/2}(2x — 3) > 1 \)
Рассмотрим неравенство:
\( 2x — 3 < \frac{1}{2} \)
Умножим обе части на 2:
\( 4x — 6 < 1, \quad 4x < 7, \quad x < \frac{7}{4}, \quad x < 1.75 \)
Область определения:
\( 2x — 3 > 0, \quad 2x > 3, \quad x > \frac{3}{2}, \quad x > 1.5 \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in (1.5; 1.75) \)
Ответ: \( (1.5; 1.75) \)
3) \( \log_4(x + 1) < -\frac{1}{2} \)
Рассмотрим неравенство:
\( x + 1 < \frac{1}{2} \)
Решим относительно \(x\):
\( x < -\frac{1}{2} \)
Область определения:
\( x + 1 > 0, \quad x > -1 \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in (-1; -0.5) \)
Ответ: \( (-1; -0.5) \)
4) \( \lg(x^2 + x + 8) > 1 \)
Рассмотрим неравенство:
\( x^2 + x + 8 > 10, \quad x^2 + x — 2 > 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 2)(x — 1) > 0, \quad x < -2 \quad \text{или} \quad x > 1 \)
Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \)
5) \( \log_{0.2}(x^2 + 4x) \geq -1 \)
Рассмотрим неравенство:
\( x^2 + 4x \leq 5, \quad x^2 + 4x — 5 \leq 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 5)(x — 1) \leq 0, \quad x \in (-5; 1) \)
Область определения:
\( x^2 + 4x > 0, \quad x(x + 4) > 0 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( x < -4 \quad \text{или} \quad x > 0 \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in [-5; -4) \cup (0; 1] \)
Ответ: \( [-5; -4) \cup (0; 1] \)
6) \( \log_5(x^2 + 2x — 3) \leq 1 \)
Рассмотрим неравенство:
\( x^2 + 2x — 3 \leq 5, \quad x^2 + 2x — 8 \leq 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 4)(x — 2) \leq 0, \quad x \in (-4; 2) \)
Область определения:
\( x^2 + 2x — 3 > 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 3)(x — 1) > 0, \quad x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1 \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in [-4; -3) \cup (1; 2] \)
Ответ: \( [-4; -3) \cup (1; 2] \)
7) \( \log_{0.6}(x^2 + 4x + 4) > 0 \)
Рассмотрим неравенство:
\( x^2 + 4x + 4 < 1, \quad x^2 + 4x + 3 < 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 3)(x + 1) < 0, \quad x \in (-3; -1) \)
Область определения:
\( x^2 + 4x + 4 > 0 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 2)^2 > 0, \quad x \neq -2 \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in (-3; -2) \cup (-2; -1) \)
Ответ: \( (-3; -2) \cup (-2; -1) \)
8) \( \log_3 \frac{2x + 1}{x + 1} \geq 1 \)
Рассмотрим неравенство:
\( \frac{2x + 1}{x + 1} \geq 3 \)
Преобразуем:
\( \frac{x + 2}{x + 1} \leq 0 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( x \in [-2; -1) \)
Ответ: \( [-2; -1) \)
9) \( \log_{1/6} \frac{x + 2}{x^2} < 0 \)
Рассмотрим неравенство:
\( \frac{x + 2}{x^2} > 1, \quad x^2 — x — 2 < 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 2 \)
Рассмотрим знак выражения:
\( (x + 1)(x — 2) < 0, \quad x \in (-1; 2) \)
Область определения:
\( x + 2 > 0, \quad x > -2, \quad x \neq 0 \)
Объединяя область определения и решение, получаем:
\( x \in (-1; 0) \cup (0; 2) \)
Ответ: \( (-1; 0) \cup (0; 2) \)