Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 396 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. \( \lg(5x+2) = \frac{1}{2} \lg(36) + \lg(2) \)
2. \( \log_5(250 — x^3) = 3 \log_5(x) \)
3. \( \log_9(4x — 6) = \log_9(2x — 4) \)
4. \( \frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5) \)
5. \( \lg(2x + 1) = 0.5 \lg(1 — 3x) \)
6. \( \log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2x^2 + x — 1) \)
7. \( 2 \log_7(-x) = \log_7(x + 6) \)
8. \( \ln(x^2 — 2x — 8) = 2 \ln(\sqrt{-4x}) \)
Решить уравнение:
1) \( \lg(5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2 \)
\( \lg(5x + 2) = \lg \sqrt{36} + \lg 2 \)
\( \lg(5x + 2) = \lg 12 \)
\( 5x + 2 = 12, \quad x = 2 \)
Ответ: \( 2 \)
2) \( \log_5(250 — x^3) = 3 \log_5 x \)
\( \log_5(250 — x^3) = \log_5(x^3) \)
\( 250 — x^3 = x^3, \quad 2x^3 = 250 \)
\( x^3 = 125, \quad x = 5 \)
Ответ: \( 5 \)
3) \( \log_9(4x — 6) = \log_9(2x — 4) \)
\( 4x — 6 = 2x — 4, \quad 2x = 2, \quad x = 1 \)
Область определения:
\( 2x — 4 > 0, \quad x > 2 \)
Ответ: корней нет
4)
\(\frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5)\)
\(
\lg(3x^2 + 25) = 2 \lg(3x — 5)
\)
\(
\lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5)^2
\)
\(
3x^2 + 25 = 9x^2 — 30x + 25
\)
\(
6x(x — 5) = 0, \quad x = 0, \quad x = 5
\)
Область определения:
\(
3x — 5 > 0, \quad x > \frac{5}{3}
\)
Ответ: \( 5 \)
5)
\(\lg(2x + 1) = 0.5 \lg(1 — 3x)\)
\(
2 \lg(2x + 1) = \lg(1 — 3x)
\)
\(
\lg(4x^2 + 4x + 1) = \lg(1 — 3x)
\)
\(
4x^2 + 4x + 1 = 1 — 3x
\)
\(
x(4x + 7) = 0
\)
\(
x_1 = -1.75, \quad x_2 = 0
\)
Область определения:
\(
2x + 1 > 0, \quad x > -0.5
\)
Ответ: \( 0 \)
6)
\(\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2x^2 + x — 1)\)
\(
x^2 — x — 2 = 2x^2 + x — 1
\)
\(
x^2 + 2x + 1 = 0
\)
\(
(x + 1)^2 = 0, \quad x + 1 = 0, \quad x = -1
\)
Область определения:
\(
x^2 — x — 2 > 0
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\)
Тогда:
\(
x_1 = -1, \quad x_2 = 2
\)
\(
(x + 1)(x — 2) > 0, \quad x < -1, \quad x > 2
\)
Ответ: корней нет
7)
\(2 \log_7(-x) = \log_7(x + 6)\)
\(
\log_7 x^2 = \log_7(x + 6)
\)
\(
x^2 = x + 6, \quad x^2 — x — 6 = 0
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3
\)
Область определения:
\(
-x > 0, \quad x < 0
\)
Ответ: \(-2\)
8)
\(\ln(x^2 — 2x — 8) = 2 \ln \sqrt{-4x}\)
\(
\ln(x^2 — 2x — 8) = \ln(-4x)
\)
\(
x^2 — 2x — 8 = -4x
\)
\(
x^2 + 2x — 8 = 0
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\)
Область определения:
\(
-4x > 0, \quad x < 0
\)
Ответ: \(-4\)
1) Уравнение \( \lg(5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2 \).
Применим свойства логарифмов:
\(\frac{1}{2} \lg 36 = \lg \sqrt{36} = \lg 6\)
Тогда уравнение становится:
\(\lg(5x + 2) = \lg 6 + \lg 2\)
Используем свойство сложения логарифмов:
\(\lg(5x + 2) = \lg(6 \cdot 2) = \lg 12\)
Из равенства логарифмов следует:
\(5x + 2 = 12\)
Решаем линейное уравнение:
\(5x = 12 — 2, \quad 5x = 10, \quad x = 2\)
Ответ: \( x = 2 \).
2) Уравнение \( \log_5(250 — x^3) = 3 \log_5 x \).
Применим свойства логарифмов:
\(3 \log_5 x = \log_5(x^3)\)
Тогда уравнение становится:
\(\log_5(250 — x^3) = \log_5(x^3)\)
Из равенства логарифмов следует:
\(250 — x^3 = x^3\)
Решаем уравнение:
\(2x^3 = 250, \quad x^3 = 125, \quad x = 5\)
Ответ: \( x = 5 \).
3) Уравнение \( \log_9(4x — 6) = \log_9(2x — 4) \).
Из равенства логарифмов следует:
\(4x — 6 = 2x — 4\)
Решаем линейное уравнение:
\(4x — 2x = -4 + 6, \quad 2x = 2, \quad x = 1\)
Проверим область определения:
\(2x — 4 > 0, \quad x > 2\)
Так как \( x = 1 \) не удовлетворяет области определения, уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
4) Уравнение \( \frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5) \).
Применим свойства логарифмов:
\(\frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5) \quad \Rightarrow \quad \lg(3x^2 + 25) = 2 \lg(3x — 5)\)
Используем свойство умножения логарифмов:
\(\lg(3x^2 + 25) = \lg((3x — 5)^2)\)
Из равенства логарифмов следует:
\(3x^2 + 25 = (3x — 5)^2\)
Раскрываем квадрат:
\(3x^2 + 25 = 9x^2 — 30x + 25\)
Приводим подобные:
\(3x^2 — 9x^2 + 30x = 0, \quad -6x^2 + 30x = 0, \quad 6x(x — 5) = 0\)
Решаем уравнение:
\(x_1 = 0, \quad x_2 = 5\)
Проверим область определения:
\(3x — 5 > 0, \quad x > \frac{5}{3}\)
Тогда \( x = 0 \) не удовлетворяет области определения, а \( x = 5 \) подходит.
Ответ: \( x = 5 \).
5) Уравнение \( \lg(2x + 1) = 0.5 \lg(1 — 3x) \).
Применим свойства логарифмов:
\(0.5 \lg(1 — 3x) = \frac{1}{2} \lg(1 — 3x) \quad \Rightarrow \quad 2 \lg(2x + 1) = \lg(1 — 3x)\)
Используем свойство умножения логарифмов:
\(\lg((2x + 1)^2) = \lg(1 — 3x)\)
Из равенства логарифмов следует:
\((2x + 1)^2 = 1 — 3x\)
Раскрываем квадрат:
\(4x^2 + 4x + 1 = 1 — 3x\)
Приводим подобные:
\(4x^2 + 4x + 3x + 1 — 1 = 0, \quad 4x^2 + 7x = 0\)
Решаем уравнение:
\(x(4x + 7) = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{7}{4}\)
Проверим область определения:
\(2x + 1 > 0, \quad x > -0.5\)
Тогда \( x = -\frac{7}{4} \) не удовлетворяет области определения, а \( x = 0 \) подходит.
Ответ: \( x = 0 \).
6) Уравнение \( \log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2x^2 + x — 1) \).
Из равенства логарифмов следует:
\(x^2 — x — 2 = 2x^2 + x — 1\)
Приводим подобные:
\(x^2 — 2x^2 — x — x — 2 + 1 = 0, \quad -x^2 — 2x — 1 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(x^2 + 2x + 1 = 0\)
Раскрываем квадрат:
\((x + 1)^2 = 0, \quad x + 1 = 0, \quad x = -1\)
Проверим область определения:
\(x^2 — x — 2 > 0\)
Решаем квадратное неравенство:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\)
Корни:
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 2\)
Интервалы:
\((x + 1)(x — 2) > 0, \quad x < -1, \quad x > 2\)
Так как \( x = -1 \) не удовлетворяет области определения, уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
7) Уравнение \( 2 \log_7(-x) = \log_7(x + 6) \).
Применим свойства логарифмов:
\(2 \log_7(-x) = \log_7((-x)^2) \quad \Rightarrow \quad \log_7((-x)^2) = \log_7(x + 6)\)
Из равенства логарифмов следует:
\((-x)^2 = x + 6\)
Раскрываем квадрат:
\(x^2 = x + 6\)
Приводим подобные:
\(x^2 — x — 6 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25\)
Корни:
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\)
Проверим область определения:
\(-x > 0, \quad x < 0\)
Тогда \( x = 3 \) не удовлетворяет области определения, а \( x = -2 \) подходит.
Ответ: \( x = -2 \).
8) Уравнение \( \ln(x^2 — 2x — 8) = 2 \ln \sqrt{-4x} \).
Применим свойства логарифмов:
\(2 \ln \sqrt{-4x} = \ln((-4x)^2) \quad \Rightarrow \quad \ln(x^2 — 2x — 8) = \ln(-4x)\)
Из равенства логарифмов следует:
\(x^2 — 2x — 8 = -4x\)
Приводим подобные:
\(x^2 + 2x — 8 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36\)
Корни:
\(x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
Проверим область определения:
\(-4x > 0, \quad x < 0\)
Тогда \( x = 2 \) не удовлетворяет области определения, а \( x = -4 \) подходит.
Ответ: \( x = -4 \).