ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 397 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1) \(\log_6(x+1) < \log_6(2x+5)\);
\(x+1 < 2x+5, \quad x > -4\);
Область определения:
\(x+1 > 0, \quad x > -1\);
Ответ: \((-1; +\infty)\).

2) \(\log_2(2x-3) > \log_2(3x-5)\);
\(2x-3 > 3x-5, \quad x < 2\);
Область определения:
\(3x-5 > 0, \quad x > \frac{5}{3}\);
Ответ: \(\left(\frac{5}{3}; 2\right)\).

3) \(\ln(x^2-3) > \ln(3x-7)\);
\(x^2-3 > 3x-7, \quad x^2-3x+4 > 0\);
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = -7 < 0, \quad x \in \mathbb{R}\);
Область определения:
\(3x-7 > 0, \quad x > \frac{7}{3}\);
Ответ: \(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\).

4) \(\log_{0.7}(3x-1) < \log_{0.7}(3-x)\);
\(3x-1 > 3-x, \quad 4x > 4, \quad x > 1\);
Область определения:
\(3-x > 0, \quad x < 3\);
Ответ: \((1; 3)\).

5) \(\log_{0.4}(x^2+1) > \log_{0.4}(2x+25)\);
\(x^2+1 < 2x+25, \quad x^2-2x-24 < 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 24 = 4 + 96 = 100\), тогда:
\(x_1 = \frac{2-10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2+10}{2} = 6\);
\((x+4)(x-6) < 0, \quad -4 < x < 6\);
Область определения:
\(x^2+1 > 0, \quad x \in \mathbb{R}\);
Ответ: \((-4; 6)\).

6) \(\log_{\frac{1}{9}}(1-x^2) > \log_{\frac{1}{9}}(2x+2)\);
\(1-x^2 < 2x+2, \quad x^2+2x+1 > 0\);
\((x+1)^2 > 0, \quad x+1 \neq 0, \quad x \neq -1\);
Область определения:
\(1-x^2 > 0, \quad |x| < 1\);
Ответ: \((-1; 1)\).

7) \(2 \log_3 x — \log_3(2x+9) \leq 1\);
\(
\log_3 \frac{x^2}{2x+9} \leq \log_3 3, \quad \frac{x^2}{2x+9} \leq 3;
\)
\(x^2 \leq 6x + 27, \quad x^2 — 6x — 27 \leq 0\);
\(D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144\), тогда:
\(
x_1 = \frac{6-12}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6+12}{2} = 9;
\)
\(
\frac{(x+3)(x-9)}{2x+9} \leq 0; \quad x < -4.5; \quad -3 \leq x \leq 9;
\)
Область определения:
\(x > 0, \quad 2x+9 > 0\);
\(x > 0, \quad x > -4.5\);
Ответ: \((0; 9]\).

8)\(\lg \frac{x+3}{x+4} > \lg \frac{x+5}{x+2}\);
\(
\frac{x+3}{x+4} > \frac{x+5}{x+2};
\)
\(
\frac{(x+3) \cdot (x+2) — (x+5) \cdot (x+4)}{(x+4)(x+2)} > 0;
\)
\(
x^2 + 3x + 2x + 6 — x^2 — 4x — 5x — 20 > 0;
\)
\(
\frac{3x + 14}{(x+4)(x+2)} < 0;
\)
\(x < -3, \quad -4 < x < -2\);
Область определения:
\((x+5)/(x+2) > 0, \quad x < -5, \quad x \geq 2\);
Ответ: \((-\infty; -5)\).

1) Решим неравенство \(\log_6(x+1) < \log_6(2x+5)\).
Так как логарифмическая функция возрастающая при основании больше 1, то \((x+1) < (2x+5)\).
Решим полученное линейное неравенство:
\((x+1 < 2x+5)\),
\((x — 2x < 5 — 1)\),
\((-x < 4)\),
\((x > -4)\).

Область определения логарифмической функции:
\((x+1 > 0)\), то есть \((x > -1)\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\((-1; +\infty)\).

Ответ: \((-1; +\infty)\).

2) Решим неравенство \(\log_2(2x-3) > \log_2(3x-5)\).
Так как логарифмическая функция возрастающая при основании больше 1, то \((2x-3 > 3x-5)\).
Решим полученное линейное неравенство:
\((2x — 3 > 3x — 5)\),
\((2x — 3x > -5 + 3)\),
\((-x > -2)\),
\((x < 2)\).

Область определения логарифмической функции:
\((3x-5 > 0)\), то есть \((x > \frac{5}{3})\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\(\left(\frac{5}{3}; 2\right)\).

Ответ: \(\left(\frac{5}{3}; 2\right)\).

3) Решим неравенство \(\ln(x^2-3) > \ln(3x-7)\).
Так как логарифмическая функция возрастающая, то \((x^2-3 > 3x-7)\).
Решим квадратное неравенство:
\((x^2 — 3x + 4 > 0)\).
Найдем дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7\).

Так как дискриминант отрицателен, квадратное выражение всегда положительно, то есть \((x^2 — 3x + 4 > 0)\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Область определения логарифмической функции:
\((3x-7 > 0)\), то есть \((x > \frac{7}{3})\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\).

Ответ: \(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\).

4) Решим неравенство \(\log_{0.7}(3x-1) < \log_{0.7}(3-x)\).
Так как логарифмическая функция убывающая при основании меньше 1, то \((3x-1 > 3-x)\).
Решим полученное линейное неравенство:
\((3x — 1 > 3 — x)\),
\((3x + x > 3 + 1)\),
\((4x > 4)\),
\((x > 1)\).

Область определения логарифмической функции:
\((3-x > 0)\), то есть \((x < 3)\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\((1; 3)\).

Ответ: \((1; 3)\).

5) Решим неравенство \(\log_{0.4}(x^2+1) > \log_{0.4}(2x+25)\).
Так как логарифмическая функция убывающая при основании меньше 1, то \((x^2+1 < 2x+25)\).
Решим квадратное неравенство:
\((x^2 — 2x — 24 < 0)\).
Найдем дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\).
Найдем корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 10}{2} = -4\),
\(x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6\).

Решение неравенства:
\((-4 < x < 6)\).

Область определения логарифмической функции:
\((x^2+1 > 0)\), что выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\((-4; 6)\).

Ответ: \((-4; 6)\).

6) Решим неравенство \(\log_{\frac{1}{9}}(1-x^2) > \log_{\frac{1}{9}}(2x+2)\).
Так как логарифмическая функция убывающая при основании меньше 1, то \((1-x^2 < 2x+2)\).
Решим квадратное неравенство:
\((x^2 + 2x + 1 > 0)\).
Разложим на множители:
\((x+1)^2 > 0\).

Квадрат выражения всегда положителен, кроме случая, когда \((x+1 = 0)\), то есть \(x \neq -1\).

Область определения логарифмической функции:
\((1-x^2 > 0)\), то есть \((|x| < 1)\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\((-1; 1)\).

Ответ: \((-1; 1)\).

7) Решим неравенство \(2 \log_3 x — \log_3(2x+9) \leq 1\).
Преобразуем:
\(\log_3 \frac{x^2}{2x+9} \leq \log_3 3\).
Так как логарифмическая функция возрастающая при основании больше 1, то:
\(\frac{x^2}{2x+9} \leq 3\).
Решим дробное неравенство:
\(x^2 \leq 6x + 27\),
\(x^2 — 6x — 27 \leq 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\).
Найдем корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 12}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = 9\).

Решение неравенства:
\(\frac{(x+3)(x-9)}{2x+9} \leq 0\).
Учитывая знак дроби, получаем:
\(x \in [-3; 9]\).

Область определения логарифмической функции:
\(x > 0\),
\(2x+9 > 0\), то есть \(x > -4.5\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\((0; 9]\).

Ответ: \((0; 9]\).

8) Решим неравенство \(\lg \frac{x+3}{x+4} > \lg \frac{x+5}{x+2}\).
Преобразуем:
\(\frac{x+3}{x+4} > \frac{x+5}{x+2}\).
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{(x+3)(x+2) — (x+5)(x+4)}{(x+4)(x+2)} > 0\).
Раскроем скобки:
\((x^2 + 3x + 2x + 6) — (x^2 + 4x + 5x + 20) > 0\),
\(x^2 + 5x + 6 — x^2 — 9x — 20 > 0\),
\(-4x — 14 > 0\),
\(\frac{3x + 14}{(x+4)(x+2)} < 0\).

Решение неравенства:
\(x < -3\),
\(-4 < x < -2\).

Область определения логарифмической функции:
\((x+5)/(x+2) > 0\), то есть \(x < -5\) и \(x \geq 2\).

Пересечение области определения и решения неравенства:
\((-\infty; -5)\).

Ответ: \((-\infty; -5)\).