ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 398 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите область определения функции:
\(
f(x) = \log_{0.7} \left( \frac{x+1}{x-5} \right)
\)

2)
\(
f(x) = \log_{3} \left( \log_{0.3} \left( \frac{x-2}{x+3} \right) \right)
\)

1) \(f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \left( \frac{x+1}{x-5} \right)}\);

Первое неравенство:
\(
\log_{0.7} \left( \frac{x+1}{x-5} \right) \geq 0, \quad \frac{x+1}{x-5} \leq 1;
\)
\(
\frac{x+1}{x-5} — 1 \leq 0, \quad \frac{6}{x-5} \leq 0;
\)
\(
x — 5 < 0, \quad x < 5;
\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x+1}{x-5} > 0, \quad x > -1, \quad x > 5;
\)

Ответ: \(D(x) = (-\infty; -1)\).

2) \(f(x) = \log_3 \left( \log_{0.3} \left( \frac{x-2}{x+3} \right) \right)\);

Первое неравенство:
\(
\log_{0.3} \left( \frac{x-2}{x+3} \right) > 0, \quad \frac{x-2}{x+3} < 1;
\)
\(
\frac{x-2}{x+3} — 1 < 0, \quad \frac{-5}{x+3} < 0;
\)
\(
x + 3 > 0, \quad x > -3;
\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x-2}{x+3} > 0, \quad x > 2;
\)

Ответ: \(D(x) = (2; +\infty)\).

Область определения:

1) \(f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \left( \frac{x+1}{x-5} \right)}\)

Для функции \(f(x)\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(
\log_{0.7} \left( \frac{x+1}{x-5} \right) \geq 0
\)
Так как основание логарифма \(0.7 < 1\), то знак логарифма меняется, и условие преобразуется:
\(
\frac{x+1}{x-5} \leq 1
\)
Рассмотрим это неравенство:
\(
\frac{x+1}{x-5} — 1 \leq 0
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{x+1 — (x-5)}{x-5} \leq 0
\)
\(
\frac{6}{x-5} \leq 0
\)
Это неравенство выполняется, когда числитель \(6 > 0\), а знаменатель \(x-5 < 0\), то есть:
\(
x < 5
\)

Теперь рассмотрим область определения дроби \(\frac{x+1}{x-5}\). Она должна быть положительной:
\(
\frac{x+1}{x-5} > 0
\)
Здесь числитель \(x+1 > 0\), то есть \(x > -1\), а знаменатель \(x-5 > 0\), то есть \(x > 5\).

Объединяя условия, получаем:
1. \(x < 5\) из первого неравенства
2. \(x > -1\) из второго неравенства

Однако из-за несовместимости условий \(x > 5\) и \(x < 5\), окончательная область определения:
\(
D(x) = (-\infty; -1)
\)

2) \(f(x) = \log_3 \left( \log_{0.3} \left( \frac{x-2}{x+3} \right) \right)\)

Для функции \(f(x)\) выражение внутри логарифма должно быть положительным:
\(
\log_{0.3} \left( \frac{x-2}{x+3} \right) > 0
\)
Так как основание логарифма \(0.3 < 1\), знак логарифма меняется, и условие преобразуется:
\(
\frac{x-2}{x+3} < 1
\)
Рассмотрим это неравенство:
\(
\frac{x-2}{x+3} — 1 < 0
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{x-2 — (x+3)}{x+3} < 0
\)
\(
\frac{-5}{x+3} < 0
\)
Это неравенство выполняется, когда числитель \(-5 < 0\), а знаменатель \(x+3 > 0\), то есть:
\(
x > -3
\)

Теперь рассмотрим область определения дроби \(\frac{x-2}{x+3}\). Она должна быть положительной:
\(
\frac{x-2}{x+3} > 0
\)
Здесь числитель \(x-2 > 0\), то есть \(x > 2\), а знаменатель \(x+3 > 0\), то есть \(x > -3\).

Объединяя условия, получаем:
1. \(x > -3\) из первого неравенства
2. \(x > 2\) из второго неравенства

Окончательная область определения:
\(
D(x) = (2; +\infty)
\)