ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 399 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1) \(lg(2x-1) + lg(x+5) = lg(13)\);
\(lg((2x-1) * (x+5)) = lg(13)\);
\(2x^2 + 10x — x — 5 = 13\);
\(2x^2 + 9x — 18 = 0\);
\(D = 9^2 + 4 * 2 * 18 = 81 + 144 = 225\), тогда:
\(
x_1 = (-9 — 15) / (2 * 2) = -6 \quad и \quad x_2 = (15 — 9) / (2 * 2) = 3 / 2 = 1.5
\)
Область определения:
\(2x — 1 > 0, \, x > 0.5\);
\(x + 5 > 0, \, x > -5\);
Ответ: \(1.5\).

2) \(log_3(2x-7) + log_3(x-1) = 2 + log_3(2)\);
\(log_3((2x-7) * (x-1)) = log_3(3^2 * 2)\);
\(2x^2 — 2x — 7x + 7 = 18\);
\(2x^2 — 9x — 11 = 0\);
\(D = 9^2 + 4 * 2 * 11 = 81 + 88 = 169\), тогда:
\(
x_1 = (9 — 13) / (2 * 2) = -1 \quad и \quad x_2 = (9 + 13) / (2 * 2) = 11 / 2 = 5.5
\)
Область определения:
\(2x — 7 > 0, \, x > 3.5\);
\(x — 1 > 0, \, x > 1\);
Ответ: \(5.5\).

3) \( \log_{0.5}(4 — x) + \log_{0.5}(x — 1) = -1 \);
\( \log_{0.5}((4 — x) \cdot (x — 1)) = \log_{0.5}(2) \);
\( 4x — 4 — x^2 + x = 2 \);
\( x^2 — 5x + 6 = 0 \);
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), тогда:
\( x_1 = (5 — 1) / 2 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3 \)
Область определения:
\( 4 — x > 0, \, x < 4 \);
\( x — 1 > 0, \, x > 1 \);
Ответ: \( 2; 3 \).

4) \( \log_7(-x) + \log_7(1 — x) = \log_7(x + 3) \);
\( \log_7((-x) \cdot (1 — x)) = \log_7(x + 3) \);
\( -x + x^2 = x + 3 \), \( x^2 — 2x — 3 = 0 \);
\( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( x_1 = (2 — 4) / 2 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 \)
Область определения:
\( x + 3 > 0, \, x > -3 \);
\( 1 — x > 0, \, x < 1 \);
\( -x > 0, \, x < 0 \);
Ответ: \( -1 \).

1) Уравнение:
\(lg(2x-1) + lg(x+5) = lg(13)\)

Складываем логарифмы:
\(lg((2x-1) \cdot (x+5)) = lg(13)\)

Так как логарифмы равны, то выражения под логарифмами также равны:
\((2x-1) \cdot (x+5) = 13\)

Раскрываем скобки:
\(2x^2 + 10x — x — 5 = 13\)

Приводим подобные:
\(2x^2 + 9x — 18 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225\)

Находим корни:
\(x_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 2} = -6\)
\(x_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5\)

Область определения:
\(2x-1 > 0 — x > 0.5\)
\(x+5 > 0 — x > -5\)

Пересечение условий: \(x > 0.5\).

Проверяем корни:
\(x_1 = -6\) не удовлетворяет области определения.
\(x_2 = 1.5\) удовлетворяет области определения.

Ответ: \(1.5\).

2) Уравнение:
\(log_3(2x-7) + log_3(x-1) = 2 + log_3(2)\)

Складываем логарифмы:
\(log_3((2x-7) \cdot (x-1)) = log_3(3^2 \cdot 2)\)

Так как логарифмы равны, то выражения под логарифмами также равны:
\((2x-7) \cdot (x-1) = 18\)

Раскрываем скобки:
\(2x^2 — 2x — 7x + 7 = 18\)

Приводим подобные:
\(2x^2 — 9x — 11 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169\)

Находим корни:
\(x_1 = \frac{9 — 13}{2 \cdot 2} = -1\)
\(x_2 = \frac{9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5.5\)

Область определения:
\(2x-7 > 0 — x > 3.5\)
\(x-1 > 0 — x > 1\)

Пересечение условий: \(x > 3.5\).

Проверяем корни:
\(x_1 = -1\) не удовлетворяет области определения.
\(x_2 = 5.5\) удовлетворяет области определения.

Ответ: \(5.5\).

3) Уравнение:
\(log_{0.5}(4-x) + log_{0.5}(x-1) = -1\)

Складываем логарифмы:
\(log_{0.5}((4-x) \cdot (x-1)) = log_{0.5}(2)\)

Так как логарифмы равны, то выражения под логарифмами также равны:
\((4-x) \cdot (x-1) = 2\)

Раскрываем скобки:
\(4x — 4 — x^2 + x = 2\)

Приводим подобные:
\(x^2 — 5x + 6 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\)

Находим корни:
\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\)

Область определения:
\(4-x > 0 — x < 4\)
\(x-1 > 0 — x > 1\)

Пересечение условий: \(1 < x < 4\).

Проверяем корни:
Оба корня \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\) удовлетворяют области определения.

Ответ: \(2; 3\).

4) Уравнение:
\(\log_7(-x) + \log_7(1-x) = \log_7(x+3)\)

Складываем логарифмы:
\(\log_7((-x) \cdot (1-x)) = \log_7(x+3)\)

Так как логарифмы равны, то выражения под логарифмами также равны:
\((-x) \cdot (1-x) = x+3\)

Раскрываем скобки:
\(-x + x^2 = x + 3\)

Приводим подобные:
\(x^2 — 2x — 3 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

Находим корни:
\(x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

Область определения:
\(x+3 > 0 — x > -3\)
\(1-x > 0 — x < 1\)
\(-x > 0 — x < 0\)

Пересечение условий: \(-3 < x < 0\).

Проверяем корни:
\(x_1 = -1\) удовлетворяет области определения.
\(x_2 = 3\) не удовлетворяет области определения.

Ответ: \(-1\).