ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 400 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1) \(\log_2 x + \log_2 (x+1) \leq 1\);
\(\log_2 (x \cdot (x+1)) \leq \log_2 2\);
\(x^2 + x \leq 2, \quad x^2 + x — 2 \leq 0\);

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\((x+2)(x-1) \leq 0, \quad -2 \leq x \leq 1\);

Область определения:
\(x+1 > 0, \quad x > -1;\)

Ответ: \((0; 1]\).

2) \(\log_{1/6} x + \log_{1/6} (x-1) \geq \log_{1/6} (x+3);\)
\(\log_{1/6} (x \cdot (x-1)) \geq \log_{1/6} (x+3);\)
\(x^2 — x \geq x + 3, \quad x^2 — 2x — 3 \leq 0;\)

\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\((x+1)(x-3) \leq 0, \quad -1 \leq x \leq 3;\)

Область определения:
\(x+3 > 0, \quad x > -3;\)
\(x-1 > 0, \quad x > 1;\)

Ответ: \((1; 3]\).

3) \(\log_3(4-x) + \log_3(x+3) \leq 1 + \log_3(x-1);\)
\(\log_3((4-x) \cdot (x+3)) \leq \log_3(3 \cdot (x-1));\)
\(4x + 12 — x^2 — 3x \leq 3x — 3;\)
\(x^2 + 2x — 15 \geq 0;\)

\(D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\)
\((x+5)(x-3) \geq 0, \quad x \leq -5, \, x \geq 3;\)

Область определения:
\(x+3 > 0, \quad x > -3;\)
\(4-x > 0, \quad x < 4;\)
\(x-1 > 0, \quad x > 1;\)

Ответ: \([3; 4).\)

4) \(\log_{\frac{1}{2}}(x+2) + \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}}3 — 1;\)
\(\log_{\frac{1}{2}}((x+2) \cdot (x+3)) \geq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3}{2}\right);\)
\(x^2 + 3x + 2x + 6 \leq 6, \quad x^2 + 5x \leq 0;\)

\(x(x+5) \leq 0, \quad -5 \leq x \leq 0;\)

Область определения:
\(x+3 > 0, \quad x > -3;\)
\(x+2 > 0, \quad x > -2;\)

Ответ: \((-2; 0].\)

1) Решим неравенство:

\(\log_2 x + \log_2 (x+1) \leq 1\).
С использованием свойства логарифмов, преобразуем:
\(\log_2 (x \cdot (x+1)) \leq \log_2 2\).
Так как логарифмическая функция возрастающая, то:
\(x \cdot (x+1) \leq 2\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + x \leq 2\).
Перенесем \(2\) в левую часть:
\(x^2 + x — 2 \leq 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2 + x — 2 = 0\) для нахождения корней:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2\),
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\).

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((x+2)(x-1) \leq 0\).

Решение неравенства:
\(-2 \leq x \leq 1\).

Учтем область определения:
\(\log_2 x\) определен при \(x > 0\), а \(\log_2 (x+1)\) определен при \(x+1 > 0\), то есть \(x > -1\).
Пересечение областей даёт \(x > 0\).

Ответ: \((0; 1]\).

2) Решим неравенство:

\(\log_{1/6} x + \log_{1/6} (x-1) \geq \log_{1/6} (x+3)\).
С использованием свойства логарифмов, преобразуем:
\(\log_{1/6} (x \cdot (x-1)) \geq \log_{1/6} (x+3)\).
Так как логарифмическая функция с основанием \(1/6\) убывающая, то:
\(x \cdot (x-1) \leq x+3\).
Раскроем скобки:
\(x^2 — x \leq x + 3\).
Перенесем \(x+3\) в левую часть:
\(x^2 — 2x — 3 \leq 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2 — 2x — 3 = 0\) для нахождения корней:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1\),
\(x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\).

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((x+1)(x-3) \leq 0\).

Решение неравенства:
\(-1 \leq x \leq 3\).

Учтем область определения:
\(\log_{1/6} x\) определен при \(x > 0\), \(\log_{1/6} (x-1)\) определен при \(x-1 > 0\), то есть \(x > 1\), а \(\log_{1/6} (x+3)\) определен при \(x+3 > 0\), то есть \(x > -3\).
Пересечение областей даёт \(x > 1\).

Ответ: \((1; 3]\).

3) Решим неравенство:

\(\log_3(4-x) + \log_3(x+3) \leq 1 + \log_3(x-1)\).
С использованием свойства логарифмов, преобразуем:
\(\log_3((4-x) \cdot (x+3)) \leq \log_3(3 \cdot (x-1))\).
Так как логарифмическая функция возрастающая, то:
\((4-x) \cdot (x+3) \leq 3 \cdot (x-1)\).
Раскроем скобки:
\(4x + 12 — x^2 — 3x \leq 3x — 3\).
Упростим:
\(-x^2 + 4x + 12 — 3x \leq 3x — 3\),
\(-x^2 + x + 12 \leq 3x — 3\),
\(-x^2 — 2x + 15 \geq 0\).

Решим квадратное уравнение \(-x^2 — 2x + 15 = 0\) для нахождения корней:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 15 = 4 + 60 = 64\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{-2} = \frac{2 — 8}{-2} = -5\),
\(x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{-2} = \frac{2 + 8}{-2} = 3\).

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((-x-5)(-x+3) \geq 0\),
или
\((x+5)(x-3) \geq 0\).

Решение неравенства:
\(x \leq -5\) или \(x \geq 3\).

Учтем область определения:
\(\log_3(4-x)\) определен при \(4-x > 0\), то есть \(x < 4\), \(\log_3(x+3)\) определен при \(x+3 > 0\), то есть \(x > -3\), а \(\log_3(x-1)\) определен при \(x-1 > 0\), то есть \(x > 1\).
Пересечение областей даёт \(1 < x < 4\).

Ответ: \([3; 4).\)

4) Решим неравенство:

\(\log_{\frac{1}{2}}(x+2) + \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}}3 — 1\).
С использованием свойства логарифмов, преобразуем:
\(\log_{\frac{1}{2}}((x+2) \cdot (x+3)) \geq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3}{2}\right)\).
Так как логарифмическая функция с основанием \(1/2\) убывающая, то:
\((x+2) \cdot (x+3) \leq \frac{3}{2}\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + 3x + 2x + 6 \leq \frac{3}{2}\).
Упростим:
\(x^2 + 5x + 6 \leq 6\),
\(x^2 + 5x \leq 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2 + 5x = 0\):
\(x(x+5) = 0\).
Корни:
\(x_1 = 0, \quad x_2 = -5\).

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\(x(x+5) \leq 0\).

Решение неравенства:
\(-5 \leq x \leq 0\).

Учтем область определения:
\(\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\) определен при \(x+2 > 0\), то есть \(x > -2\), а \(\log_{\frac{1}{2}}(x+3)\) определен при \(x+3 > 0\), то есть \(x > -3\).
Пересечение областей даёт \(x > -2\).

Ответ: \((-2; 0].\)