ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 401 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите следующие уравнения:

1) \(3(\log_3 x)^2 + 7\log_3 x — 6 = 0\);
2) \((\ln x)^2 — 4\ln x — 21 = 0\);
3) \(\frac{2}{\lg x + 2} — \frac{1}{\lg x — 4} = 1\);
4) \((\lg x)^2 + 2\lg x — 20 = 5^{\log_5 (\lg x)}\);
5) \(\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6\);
6) \((\log_5 x^3)^2 + 5\log_5 x^2 + 1 = 0\);
7) \(\log_7 \frac{7}{x} + (\log_7 x)^3 = 1\);
8) \(\log_9 x + \log_x 9 = 2.5\).

1) \(3 \log_3^2 x + 7 \log_3 x — 6 = 0\);
\(D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121 = 11^2\), тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 3} = -3 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3};
\)
\(
x_1 = 3^{-3} = \frac{1}{27} \quad \text{и} \quad x_2 = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt(3)(9).
\)
Ответ: \( \frac{1}{27}; \sqrt[3]{9} \).

2) \(\ln^2 x — 4 \ln x — 21 = 0\);
\(D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 + 84 = 100\), тогда:
\(
\ln x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \ln x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 7;
\)
\(
x_1 = e^{-3} = \frac{1}{e^3} \quad \text{и} \quad x_2 = e^7.
\)
Ответ: \( \frac{1}{e^3}; e^7 \).

3) \(\frac{2}{\lg x + 2} — \frac{1}{\lg x — 4} = 1\);
\(
2 (\lg x — 4) — (\lg x + 2) = (\lg x + 2)(\lg x — 4);
\)
\(
2 \lg x — 8 — \lg x — 2 = \lg^2 x — 4 \lg x + 2 \lg x — 8;
\)
\(
\lg^2 x — 3 \lg x + 2 = 0;
\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)
\(
x_1 = 10^1 = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = 10^2 = 100.
\)
Ответ: \( 10; 100 \).

4) \(\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = 5 \lg_5 \lg x;\)
\(\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = \lg x;\)
\(\lg^2 x + \lg x — 20 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\)
\(
x_1 = 10^{-5} \quad \text{и} \quad x_2 = 10^4 = 10 \, 000.
\)
Область определения: \(\lg x > 0, \, x > 1;\)
Ответ: \(10 \, 000.\)

5) \(\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6;\)
\(
2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — 2) = 6;
\)
\(
2 \log_3^2 x — 4 \log_3 x — 6 = 0;
\)
\(
\log_3^2 x — 2 \log_3 x — 3 = 0;
\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2,\) тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\(
x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = 3^3 = 27.
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}; \, 27.\)

6) \(\log_3 x^3 — 5 \log_5 x^2 + 1 = 0;\)
\(9 \log_2 x — 10 \log_5 x + 1 = 0;\)
\(D = 10^2 — 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 — 36 = 64,\) тогда:
\(
\log_5 x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 9} = \frac{1}{9} \quad \text{и} \quad \log_5 x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = 1;
\)
\(
x_1 = 5^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{5} \quad \text{и} \quad x_2 = 5^1 = 5.
\)
Ответ: \(\sqrt[9]{5}; \, 5.\)

7) \(\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1;\)
\(
(1 — \log_7 x) + \log_7^3 x = 1;
\)
\(
\log_7^3 x — \log_7 x = 0;
\)
\(
\log_7 x (\log_7^2 x — 1) = 0;
\)
\(
(\log_7 x + 1) \log_7 x (\log_7 x — 1) = 0;
\)
\(
\log_7 x_1 = -1, \quad \log_7 x_2 = 0, \quad \log_7 x_3 = 1;
\)
\(
x_1 = 7^{-1} = \frac{1}{7}, \quad x_2 = 7^0 = 1, \quad x_3 = 7^1 = 7.
\)
Ответ: \(\frac{1}{7}; \, 1; \, 7.\)

8) \(\log_9 x + \log_x 9 = 2,5;\)
\(
2 \log_9^2 x + 2 = 5 \log_9 x;
\)
\(
2 \log_9^2 x — 5 \log_9 x + 2 = 0;
\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(
\log_9 x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_9 x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\)
\(
x_1 = 9^{\frac{1}{2}} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = 9^2 = 81.
\)
Ответ: \(3; \, 81.\)

1) \( 3 \log_3^2 x + 7 \log_3 x — 6 = 0 \)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121 = 11^2
\)

Решение:
\(
\log_3 x_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 3} = -3 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 3^{-3} = \frac{1}{27} \quad \text{и} \quad x_2 = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt(3)(9)
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{27}; \, \sqrt[3](9)
\)

2) \( \ln^2 x — 4 \ln x — 21 = 0 \)

Дискриминант:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 + 84 = 100
\)

Решение:
\(
\ln x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \ln x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 7
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = e^{-3} = \frac{1}{e^3} \quad \text{и} \quad x_2 = e^7
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{e^3}; \, e^7
\)

3) \( \frac{2}{\lg x + 2} — \frac{1}{\lg x — 4} = 1 \)

Преобразуем уравнение:
\(
2 (\lg x — 4) — (\lg x + 2) = (\lg x + 2)(\lg x — 4)
\)

Раскрываем скобки:
\(
2 \lg x — 8 — \lg x — 2 = \lg^2 x — 4 \lg x + 2 \lg x — 8
\)

Упрощаем выражение:
\(
\lg^2 x — 3 \lg x + 2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\)

Решение:
\(
\lg x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 10^1 = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = 10^2 = 100
\)

Ответ:
\(
10; \, 100
\)

4) \( \lg^2 x + 2 \lg x — 20 = 5 \lg_5 \lg x \)

Преобразуем уравнение:
\(
\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = \lg x
\)

Упрощаем выражение:
\(
\lg^2 x + \lg x — 20 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81
\)

Решение:
\(
\lg x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 10^{-5} \quad \text{и} \quad x_2 = 10^4 = 10 \, 000
\)

Область определения:
\(
\lg x > 0, \, x > 1
\)

Ответ:
\(
10 \, 000
\)

5) \( \log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6 \)

Преобразуем уравнение:
\(
2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — 2) = 6
\)

Раскрываем скобки:
\(
2 \log_3^2 x — 4 \log_3 x — 6 = 0
\)

Упрощаем выражение:
\(
\log_3^2 x — 2 \log_3 x — 3 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2
\)

Решение:
\(
\log_3 x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = 3^3 = 27
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{3}; \, 27
\)

6) \( \log_3 x^3 — 5 \log_5 x^2 + 1 = 0 \)

\( 9 \log_2 x — 10 \log_5 x + 1 = 0 \)

Дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 — 36 = 64
\)

Решение:
\(
\log_5 x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 9} = \frac{1}{9} \quad \text{и} \quad \log_5 x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = 1
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 5^{\frac{1}{9}} = \sqrt(9)(5) \quad \text{и} \quad x_2 = 5^1 = 5
\)

Ответ:
\(
\sqrt[9](5); \, 5
\)

7) \( \log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1 \)

Преобразуем уравнение:
\(
(1 — \log_7 x) + \log_7^3 x = 1
\)

Упрощаем выражение:
\(
\log_7^3 x — \log_7 x = 0
\)

Раскрываем скобки:
\(
\log_7 x (\log_7^2 x — 1) = 0
\)

Решение:
\(
(\log_7 x + 1) \log_7 x (\log_7 x — 1) = 0
\)

Корни:
\(
\log_7 x_1 = -1, \quad \log_7 x_2 = 0, \quad \log_7 x_3 = 1
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 7^{-1} = \frac{1}{7}, \quad x_2 = 7^0 = 1, \quad x_3 = 7^1 = 7
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{7}; \, 1; \, 7
\)

8) \( \log_9 x + \log_x 9 = 2,5 \)

Преобразуем уравнение:
\(
2 \log_9^2 x + 2 = 5 \log_9 x
\)

Упрощаем выражение:
\(
2 \log_9^2 x — 5 \log_9 x + 2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9
\)

Решение:
\(
\log_9 x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_9 x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2
\)

Восстанавливаем значения \(x\):
\(
x_1 = 9^{\frac{1}{2}} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = 9^2 = 81
\)

Ответ:
\(
3; \, 81
\)